Bài giảng Đại số Lớp 11 - Hàm số liên tục - Nguyễn Công Tĩnh

Chương trình Đại số và giải tích 11 
Giáo viên: Nguyễn Công Tĩnh 
Trường THPT Chuyên tỉnh Hà Giang 
Điện thoại: 0913.256.001 
Email: nguyencongtinh@gmail.com 
Tháng 12/2016 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỸ LAWRENCE S.TING 
Cuộc thi quốc gia Thiết kế bài giảng e-Learning lần thứ 4 
Tổ 14-Phường Nguyễn Trãi-Thành phố Hà Giang-Tỉnh Hà Giang 
CC-BY-SA 
MỜI CÁC EM XEM ĐOẠN VIDEO 
ĐOẠN VIDEO GIỚI THIỆU BÀI HỌC 
1. Hàm số liên tục tại một điểm 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
2. Hàm số liên tục trên một khoảng 
3. Một số định lý cơ bản 
MỤC TIÊU BÀI HỌC 
Kiến thức: 
1. Nắm vững được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng. 
2. Nắm vững được một số định lý cơ bản về hàm số liên tục. 
Kỹ năng: 
1. Biết xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng. 
2. Nhận biết qua đồ thị hàm số, tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng. 
3. Biết chứng minh phương trình có nghiệm. 
 Quiz 
Click the Quiz button to edit this object 
Rất tiếc em chưa chuẩn bị tốt kiến thức để tiếp tục học các kiến thức mới. Em có thể click nút “Tiếp tục” để học tiếp. 
Tiếp tục 
Làm lại bài kiểm tra 
Hướng dẫn 
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT Đ IỂM 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
I. Hàm số liên tục tại một đ iểm 
1. Định nghĩa: 
Cho hàm số xác đ ịnh trên khoảng và . 
Hàm số đư ợc gọi là liên tục tại nếu . 
Hàm số không liên tục tại đư ợc gọi là gián đ oạn tại đ iểm đ ó. 
Nhận xét 1: 
2. Ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Xét tính liên tục của hàm số sau tại : 
Giải: 
Tập xác định của hàm số: 
Ta có: 
Vậy hàm số liên tục tại 
1. Định nghĩa: 
 Cho hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số 
 đư ợc gọi là liên tục tại 
nếu 
 Hàm số không liên tục tại đư ợc gọi là gián đ oạn tại đ iểm đ ó. 
Định lý về sự tồn tại giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm: 
Nhận xét 1: 
Để xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 bằng định nghĩa: 
1) Tìm khoảng xác định K của hàm số. (nếu đề bài chưa cho) 
2) Xét xem x 0 thuộc K hay không? ( f(x 0 ) có xác định ?) 
3) Tồn tại giới hạn hữu hạn 
 hay không? 
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT Đ IỂM 
I. Hàm số liên tục tại một đ iểm 
1. Định nghĩa: 
2. Ví dụ: 
Ví dụ 2: 
Xét tính liên tục của hàm số sau tại : 
Giải: 
Tập xác định của hàm số: 
Vậy hàm số gián đoạn tại 
Vì hàm số không xác định tại ,tức không tồn tại. 
Nhận xét 1: 
1. Định nghĩa: 
 Cho hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số 
 đư ợc gọi là liên tục tại 
nếu 
 Hàm số không liên tục tại đư ợc gọi là gián đ oạn tại đ iểm đ ó. 
Ví dụ 1: 
Xét tính liên tục của hàm số sau tại : 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT Đ IỂM 
I. Hàm số liên tục tại một đ iểm 
1. Định nghĩa: 
2. Ví dụ: 
Ví dụ 3: 
Giải: 
Tập xác định của hàm số: 
Vậy hàm số gián đoạn tại 
Cho hàm số: 
Xét tính liên tục của hàm số tại 
Ta có: 
Vì nên không tồn tại 
Nhận xét 1: 
1. Định nghĩa: 
 Cho hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số 
 đư ợc gọi là liên tục tại 
nếu 
 Hàm số không liên tục tại đư ợc gọi là gián đ oạn tại đ iểm đ ó. 
Ví dụ 2: 
Xét tính liên tục của hàm số sau tại : 
Ví dụ 1: 
Xét tính liên tục của hàm số sau tại : 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT Đ IỂM 
I. Hàm số liên tục tại một đ iểm 
1. Định nghĩa: 
2. Ví dụ: 
Ví dụ 3: 
Cho hàm số: 
Xét tính liên tục của hàm số tại 
Minh họa bằng đồ thị 
Ví dụ 1: 
Xét tính liên tục của hàm số sau tại : 
Ví dụ 2: 
Xét tính liên tục của hàm số sau tại : 
Nhận xét 1: 
1. Định nghĩa: 
 Cho hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số 
 đư ợc gọi là liên tục tại 
nếu 
 Hàm số không liên tục tại đư ợc gọi là gián đ oạn tại đ iểm đ ó. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT Đ IỂM 
I. Hàm số liên tục tại một đ iểm 
1. Định nghĩa: 
2. Ví dụ: 
Ví dụ 3: 
Giải: 
Tập xác định của hàm số: 
Vậy hàm số gián đoạn tại 
Cho hàm số: 
Xét tính liên tục của hàm số tại 
Ta có: 
Vì nên không tồn tại 
Nhận xét 2: 
Chú ý: Trong ví dụ, ta có , khi đó ta nói, hàm số liên tục bên phải tại 
Nhận xét 2: 
Đồ thị của hàm số liên tục tại điểm là đường “liền nét” tại điểm có hoành độ . 
Đồ thị của hàm số liên tục tại điểm 
 là đường “liền nét” tại điểm có hoành độ . 
Nhận xét 1: 
1. Định nghĩa: 
 Cho hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số 
 đư ợc gọi là liên tục tại 
nếu 
 Hàm số không liên tục tại đư ợc gọi là gián đ oạn tại đ iểm đ ó. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT Đ IỂM 
I. Hàm số liên tục tại một đ iểm 
1. Định nghĩa: 
2. Ví dụ: 
Ví dụ 4: 
Giải: 
Tập xác định của hàm số: 
Vậy với m =1 thì hàm số liên tục tại 
Cho hàm số: 
Tìm m để hàm số liên tục tại 
Ta có: 
Để hàm số liên tục tại thì 
Nhận xét 2: 
Đồ thị của hàm số liên tục tại điểm 
 là đường “liền nét” tại điểm có hoành độ . 
Nhận xét 1: 
1. Định nghĩa: 
 Cho hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số 
 đư ợc gọi là liên tục tại 
nếu 
 Hàm số không liên tục tại đư ợc gọi là gián đ oạn tại đ iểm đ ó. 
Ví dụ 3: 
Cho hàm số: 
Xét tính liên tục của hàm số tại 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT Đ IỂM 
I. Hàm số liên tục tại một đ iểm 
1. Định nghĩa: 
2. Ví dụ: 
Ví dụ 5: 
Giải: 
Vậy hàm số liên tục tại 
Chứng minh hàm số liên tục tại . 
Cho hàm số và 
Nhận xét 2: 
Đồ thị của hàm số liên tục tại điểm 
 là đường “liền nét” tại điểm có hoành độ . 
Tập xác định của hàm số: , do đó hàm số xác định trên 
Nhận xét 1: 
1. Định nghĩa: 
 Cho hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số 
 đư ợc gọi là liên tục tại 
nếu 
 Hàm số không liên tục tại đư ợc gọi là gián đ oạn tại đ iểm đ ó. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
 Quiz 
Click the Quiz button to edit this object 
Rất tiếc, em chưa chuẩn bị tốt kiến thức để tiếp tục học các kiến thức mới. Em có thể click nút “Tiếp tục” để học tiếp. 
Tiếp tục học 
Học lại 
Hướng dẫn 
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT Đ IỂM 
I. Hàm số liên tục tại một đ iểm 
1. Định nghĩa: 
2. Ví dụ: 
Ví dụ 5: 
Giải: 
Vậy hàm số liên tục tại 
Chứng minh hàm số liên tục tại . 
Cho hàm số và 
Nhận xét 2: 
Đồ thị của hàm số liên tục tại điểm 
 là đường “liền nét” tại điểm có hoành độ . 
Tập xác định của hàm số: , do đó hàm số xác định trên 
Nhận xét 1: 
1. Định nghĩa: 
 Cho hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số 
 đư ợc gọi là liên tục tại 
nếu 
 Hàm số không liên tục tại đư ợc gọi là gián đ oạn tại đ iểm đ ó. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG 
1. Định nghĩa: 
II. Hàm số liên tục trên một khoảng 
Hàm số liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b) 
Hàm số liên tục trên nếu 
2. Chú ý: 
* Các khái niệm hàm số liên tục trên các nửa khoảng: được định nghĩa một cách tương tự. 
Chẳng hạn: 
Hàm số đư ợc gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi đ iểm thuộc khoảng đ ó. 
Hàm số đư ợc gọi là liên tục trên nếu nó liên tục trên và 
Hàm số đư ợc gọi là liên tục trên nếu nó liên tục trên và 
* Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường “liền nét” trên khoảng đó 
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường “liền nét” trên khoảng đó 
1. Định nghĩa: 
Nhận xét: 
2. Chú ý: 
Các khái niệm hàm số liên tục trên các nửa khoảng : , 
 , được định nghĩa một cách tương tự. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
[ 
] 
b 
a 
( 
) 
b 
a 
Đ ồ thi là đường liền nét tr ên khoảng liên tục 
O 
y 
Đồ thị là một đường liền nét tr ên khoảng liên tục 
Đ ồ thị là môt đường 
 liền nét tr ên 
 khoảng liên tuc 
Đ ồ thi là đường liền nét tr ên khoảng liên tục 
Đ ồ thị là đường 
liền nét trên R 
Kết luận:Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liền nét trên khoảng đó 
O 
y 
x 
o 
0 
Đ ồ thị là môt đường 
 liền nét tr ên 
 khoảng liên tuc 
Đồ thị là một đường liền nét tr ên khoảng liên tục 
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG 
1. Định nghĩa: 
II. Hàm số liên tục trên một khoảng 
2. Chú ý: 
y 
a 
b 
O 
x 
O 
x 
a 
b 
y 
Đồ thị của hàm số liên tục trên (a;b) 
Đồ thị của hàm số không liên tục trên (a;b) 
Hàm số liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b) 
Hàm số liên tục trên nếu 
1. Định nghĩa: 
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường “liền nét” trên khoảng đó 
Nhận xét: 
2. Chú ý: 
Các khái niệm hàm số liên tục trên các nửa khoảng : , 
 , được định nghĩa một cách tương tự. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
Quan sát về mối liên hệ giữa TXĐ của các hàm số với các khoảng mà hàm số liên tục ? 
III. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 
1. Định lý 1: 
III. Một số định lí cơ bản 
1. Định lí 1: 
2. Định lý 2: 
a) Hàm số đ a thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R . 
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (th ươ ng của 2 đ a thức) và các hàm số l ư ợng giác liên tục trên từng khoảng xác đ ịnh của chúng. 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) liên tục tại đ iểm x 0 . Khi đ ó: 
a) Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x 0 
b) Hàm số liên tục tại x 0 nếu 
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. 
Hàm số phân thức hữu tỉ (th ươ ng của 2 đ a thức) và các hàm số l ư ợng giác liên tục trên từng khoảng xác đ ịnh của chúng. 
2. Định lý 2: 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) liên tục tại đ iểm x 0 . Khi đ ó: 
a) Các hàm số y=f(x)+g(x), 
y = f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x 0 
b) Hàm số liên tục tại x 0 nếu 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
 ? 
III. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 
1. Định lý 1: 
III. Một số định lí cơ bản 
1. Định lí 1: 
2. Định lý 2: 
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. 
Hàm số phân thức hữu tỉ (th ươ ng của 2 đ a thức) và các hàm số l ư ợng giác liên tục trên từng khoảng xác đ ịnh của chúng. 
2. Định lý 2: 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) liên tục tại đ iểm x 0 . Khi đ ó: 
a) Các hàm số y=f(x)+g(x), 
y = f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x 0 
b) Hàm số liên tục tại x 0 nếu 
*Ví dụ 6: 
Cho hàm số 
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. 
Giải: 
* Với thì h(x) là hàm phân thức hữu tỉ có mẫu số khác 0, do đó nó liên tục trên các khoảng 
* Tập xác định của hàm số: 
* Tại , ta có: 
Vì nên hàm số h(x) gián đoạn tại 
Vậy hàm số h(x) liên tục trên các khoảng và gián đoạn tại 
Nhận xét: Trong ví dụ 6, nếu thay số 5 bằng số 2 trong công thức của hàm số h(x) thì hàm số sẽ liên tục trên tập xác định của nó, vì khi đó 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
Phải thay số 5 trong công thức của h(x) bằng số nào để hàm số h(x) liên tục trên tập xác định của nó? 
 Quiz 
Click the Quiz button to edit this object 
Rất tiếc, em chưa chuẩn bị tốt kiến thức để tiếp tục học các kiến thức mới. Em có thể click nút “Tiếp tục” để học tiếp. 
Tiếp tục 
Học lại 
Hướng dẫn 
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 
1. Định lý 1: 
III. Một số định lí cơ bản 
1. Định lí 1: 
2. Định lý 2: 
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. 
Hàm số phân thức hữu tỉ (th ươ ng của 2 đ a thức) và các hàm số l ư ợng giác liên tục trên từng khoảng xác đ ịnh của chúng. 
2. Định lý 2: 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) liên tục tại đ iểm x 0 . Khi đ ó: 
a) Các hàm số y=f(x)+g(x), 
y = f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x 0 
b) Hàm số liên tục tại x 0 nếu 
Quan sát hình vẽ và cho biết phương trình nào sau đây có nghiệm ? 
a) f(x ) = 0 
b) g(x) = 0 
c) h(x) = 0 
y=f(x) 
y=g(x) 
y=h(x) 
Dấu hiệu nhận biết ở đây là gì ? 
Phương trình f(x) = 0 có nghiệm 
Đồ thị của hàm số cắt trục hoành Ox 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 
1. Định lý 1: 
III. Một số định lí cơ bản 
1. Định lí 1: 
2. Định lý 2: 
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. 
Hàm số phân thức hữu tỉ (th ươ ng của 2 đ a thức) và các hàm số l ư ợng giác liên tục trên từng khoảng xác đ ịnh của chúng. 
2. Định lý 2: 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) liên tục tại đ iểm x 0 . Khi đ ó: 
a) Các hàm số y=f(x)+g(x), 
y = f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x 0 
b) Hàm số liên tục tại x 0 nếu 
Cho đồ thị hàm số y = f(x ) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b)< 0 (Hình vẽ) 
- Nhận xét vị trí của điểm cắt? 
Giao điểm có hoành độ nằm trong (a;b) 
- Đồ thị hàm số y = f(x ) có cắt trục hoành không? 
Rõ ràng, ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 
1. Định lý 1: 
III. Một số định lí cơ bản 
1. Định lí 1: 
2. Định lý 2: 
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R . 
Hàm số phân thức hữu tỉ (th ươ ng của 2 đ a thức) và các hàm số l ư ợng giác liên tục trên từng khoảng xác đ ịnh của chúng. 
2. Định lý 2: 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) liên tục tại đ iểm x 0 . Khi đ ó: 
a) Các hàm số y=f(x)+g(x ),y = f(x)-g(x) và y=f(x). g(x) liên tục tại x 0 
b) Hàm số liên tục tại x 0 nếu 
3. Định lý 3: 
Nếu hàm số y = f(x ) liên tục trên đ oạn [a;b] và f(a). f(b ) < 0, thì tồn tại ít nhất một đ iểm c (a;b) sao cho f(c ) = 0 
Có thể phát biểu đ ịnh lí 3 d ư ới một dạng khác nh ư sau: 
 Nếu hàm số y = f(x ) liên tục trên đ oạn [a;b] và f(a). f(b ) < 0 , thì ph ươ ng trình f(x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b). 
3. Định lý 3: 
Nếu hàm số y = f(x ) liên tục trên đ oạn [a;b] và f(a). f(b ) < 0 , thì ph ươ ng trình f(x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b ) 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
Định lí 3 th ư ờng đư ợc áp dụng đ ể chứng minh sự tồn tại nghiệm của ph ươ ng trình trên một khoảng. 
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 
1. Định lý 1: 
III. Một số định lí cơ bản 
1. Định lí 1: 
2. Định lý 2: 
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R . 
Hàm số phân thức hữu tỉ (th ươ ng của 2 đ a thức) và các hàm số l ư ợng giác liên tục trên từng khoảng xác đ ịnh của chúng. 
2. Định lý 2: 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) liên tục tại đ iểm x 0 . Khi đ ó: 
a) Các hàm số y=f(x)+g(x ),y = f(x)-g(x) và y=f(x). g(x) liên tục tại x 0 
b) Hàm số liên tục tại x 0 nếu 
3. Định lý 3: 
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đ oạn [a;b] và f(a). f(b) < 0, thì ph ươ ng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b) 
3. Định lý 3: 
Nếu hàm số y = f(x ) liên tục trên đ oạn [a;b] và f(a). f(b ) < 0 , thì ph ươ ng trình f(x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b ) 
Ví dụ 7: 
Chứng minh rằng ph ươ ng trình: x 5 + 6x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;1). 
Giải: 
Đặt f(x) = x 5 + 6x – 5. Khi đó, f(x) là hàm số liên tục trên , do đó f(x) liên tục trên đoạn [0;1] 
Ta có: 
Do đó f(0).f(1) = (-5).2 < 0 
Từ đó suy ra, phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;1), tức phương trình x 5 + 6x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;1) 
f(0) = - 5 và f(1) = 2. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 
1. Định lý 1: 
III. Một số định lí cơ bản 
1. Định lí 1: 
2. Định lý 2: 
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R . 
Hàm số phân thức hữu tỉ (th ươ ng của 2 đ a thức) và các hàm số l ư ợng giác liên tục trên từng khoảng xác đ ịnh của chúng. 
2. Định lý 2: 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) liên tục tại đ iểm x 0 . Khi đ ó: 
a) Các hàm số y=f(x)+g(x ),y = f(x)-g(x) và y=f(x). g(x) liên tục tại x 0 
b) Hàm số liên tục tại x 0 nếu 
3. Định lý 3: 
3. Định lý 3: 
Nếu hàm số y = f(x ) liên tục trên đ oạn [a;b] và f(a). f(b ) < 0 , thì ph ươ ng trình f(x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b ) 
Ví dụ 8: 
Chứng minh rằng ph ươ ng trình: x 3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. 
Giải: 
Đặt f(x) = x 3 + 2x – 5. Khi đó, f(x) là hàm số liên tục trên , do đó f(x) liên tục trên đoạn [0;2] 
Ta có: 
Do đó f(0).f(2) = (-5).7 < 0 
f(0) = - 5 và f(2) = 7. 
Chú ý: 
Ta có f(1).f(2) = (-2).7 = -14 < 0, do đó, ta có thể kết luận phương trình x 3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1;2) (0;2) 
( 
1 
( 
) 
0 
2 
Từ đó suy ra, phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2), tức phương trình x 3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. 
a = ?, b = ? : 
f(a).f(b) < 0 và f(x) liên tục trên [a;b] 
Ví dụ 7: 
Chứng minh rằng ph ươ ng trình: x 5 + 6x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;1). 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
f(x )=x 3 + 2x – 5 liên tục trên [0;2] 
( 
( 
) 
) 
x 1 
x 2 
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 
1. Định lý 1: 
III. Một số định lí cơ bản 
1. Định lí 1: 
2. Định lý 2: 
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R . 
Hàm số phân thức hữu tỉ (th ươ ng của 2 đ a thức) và các hàm số l ư ợng giác liên tục trên từng khoảng xác đ ịnh của chúng. 
2. Định lý 2: 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) liên tục tại đ iểm x 0 . Khi đ ó: 
a) Các hàm số y=f(x)+g(x ),y = f(x)-g(x) và y=f(x). g(x) liên tục tại x 0 
b) Hàm số liên tục tại x 0 nếu 
3. Định lý 3: 
3. Định lý 3: 
Nếu hàm số y = f(x ) liên tục trên đ oạn [a;b] và f(a). f(b ) < 0 , thì ph ươ ng trình f(x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b ) 
Ví dụ 9: 
Chứng minh rằng ph ươ ng trình: 6x + 1 = 2x 3 có ít nhất hai nghiệm. 
Giải: 
Đặt . Khi đó, f(x) là hàm số liên tục trên , do đó f(x) liên tục trên các đoạn 
Ta có: 
Do đó: f(-2).f(-1) = 5.(-3) < 0 
 f(-1).f(0) = (- 3 ).1 < 0 
Suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2;-1), ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 0), tức phương trình 6x + 1 = 2x 3 có ít nhất hai nghiệm. 
f(-2) = 5, f(-1) = -3 và f(0) = 1. 
Chú ý: 
( 
) 
( 
-2 
-1 
0 
) 
Có thể “khảo sát số nghiệm và vị trí các nghiệm” của phương trình bằng chức năng TABLE trong máy tính bỏ túi VINACAL 570ES, CASIO 570VN, 
 Ví dụ 8: 
Chứng minh rằng ph ươ ng trình: x 3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. 
Chưa có dạng f(x) = 0 
a = ?, b = ? : f(a).f(b) < 0 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
f(-2).f(-1) < 0 
f (-1).f(0) < 0 
(-2;-1) và (-1;0) không giao nhau 
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 
1. Định lý 1: 
III. Một số định lí cơ bản 
1. Định lí 1: 
2. Định lý 2: 
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R . 
Hàm số phân thức hữu tỉ (th ươ ng của 2 đ a thức) và các hàm số l ư ợng giác liên tục trên từng khoảng xác đ ịnh của chúng. 
2. Định lý 2: 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) liên tục tại đ iểm x 0 . Khi đ ó: 
a) Các hàm số y=f(x)+g(x ),y = f(x)-g(x) và y=f(x). g(x) liên tục tại x 0 
b) Hàm số liên tục tại x 0 nếu 
3. Định lý 3: 
3. Định lý 3: 
Nếu hàm số y = f(x ) liên tục trên đ oạn [a;b] và f(a). f(b ) < 0 , thì ph ươ ng trình f(x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b ) 
Ví dụ 10: 
CMR ph ươ ng trình: x 3 + mx 2 – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm , với m là tham số. 
Đặt f(x) = x 3 + mx 2 - 1 . Khi đó, f(x) là hàm số liên tục trên , do đó f(x) liên tục trên 
Giải: 
Ta có: 
Suy ra, có số b > 0 nào đó để f(b) > 0, do vậy phương trình 
x 3 + mx 2 – 1 = 0 ít nhất một nghiệm trong khoảng 
 Ví dụ 8: 
Chứng minh rằng ph ươ ng trình: x 3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. 
f(x) = x 3 + mx 2 – 1 
f(0) = -1 
b = ??? để f(b) >0 
f(a).f(b) < 0 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
Tóm tắt lý thuyết 
1. Hàm số liên tục tại một điểm: 
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: 
3. Một số định lý cơ bản: 
Đồ thị của hàm số liên tục tại điểm x 0 là đường “liền nét” tại điểm có hoành độ x 0 
Hàm số không liên tục tại x 0 thì gọi là gián đoạn tại điểm đó. 
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là đường “liền nét” trên khoảng, đoạn đó. 
Các hàm đa thức liên tục trên tập ; các hàm phân thức hữu tỉ (thương của các hàm đa thức), các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó. 
Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là một hàm số liên tục tại điểm đó; trong trường hợp thương, thì mẫu số phải khác 0 
 Quiz 
Click the Quiz button to edit this object 
Rất tiếc, em chưa tiếp thu tốt kiến thức bài học. Em nên học lại kiến thức của bài. Nếu không, click nút “Tiếp tục” 
Tiếp tục 
Học lại từ đầu 
Hướng dẫn 
Học liệu tham khảo 
	1. Đại số và giải tích 11 (Cơ bản và Nâng cao) – NXB Giáo dục 
	2 . Phần mềm iSpring Suite 8 - http ://www.ispringsolutions.com 
	3 . Phần mềm VideoPad Video Editor 4 - 
	8. Các trang mạng: 
	 http :// www.moet.gov.vn 
	4. Phần mềm giả lập Vinacal 570ES PLUS II - http :// www.vinacal.com.vn 
	7. Một số học liệu của đồng nghiệp 
	5. Phần mềm Cool Edit Pro 2 - http ://www.syntrillium.com 
6. Phần mềm Graph – 
Chân thành cám ơn 
Chúc các em học tốt 
Hướng dẫn bài trắc nghiệm (Kiểm tra bài cũ) 
3. Ghép cột bên trái với cột bên phải để được kết quả đúng . 
Quay lại 
Hướng dẫn bài trắc nghiệm (Kiểm tra nội dung hàm số liên tục tại một điểm) 
Quay lại 
Hướng dẫn bài trắc nghiệm (Kiểm tra phần hàm số liên tục trên một khoảng) 
2. Ghép nối các cột bên trái và bên phải để được khái niệm đúng 
Xem kỹ lại phần lý thuyết để ghép cho đúng 
Quay lại 
Hướng dẫn bài trắc nghiệm (Kiểm tra cuối bài) 
Quay lại 
 1. Chọn khẳng định đúng: 
Cho hàm số y = f(x), nếu tồn tại hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b) 
Cho hàm số y = f(x), nếu tồn tại hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x)=0 chỉ có 1 nghiệm thuộc (a;b) 
Cho hàm số y = f(x), nếu tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành Ox 
Ba phương án kia đều sai 
2. Cho đồ thị của hàm số f(x) như hình bên. Chọn câu đúng trong các câu sau: 
Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] 
f(a).f(b) < 0 
f(a).f(b) > 0 
Phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm 
Hàm số f(x) gián đoạn tại x = a 
3. Trà lời câu hỏi sau: 
Hướng dẫn bài trắc nghiệm (Kiểm tra cuối bài) 
Quay lại 
 4. Giá trị nào của m thì hàm số sau không liên tục trên tập xác định của nó?: 
5. Cho đồ thị của hàm số (hình), hãy chỉ ra điểm gián đoạn của hàm số: 
( Dùng chuột click chính xác vào điểm đó):