Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chương V. ĐẠO HÀMBÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM (T2)4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm6. Ý nghĩa vật lý của đạo hàmCủng cốDò bài cũTính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau: tại b. tại Giải: a) Giả sử là số gia của đối số tại Ta có: Vậy Giải: b) Giả sử là số gia của đối số tại Ta có: Vậy 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số* Định lí 1Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại thì nó liên tục tại điểm đó. * Chú ý+ Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. Nếu hàm số liên tục tại một điểm thì có đạo hàm tại điểm đó không?+ Nếu hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.+ Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. yxOMT(C)xX0f(x0)f(x)M05. Ý nghĩa hình học của đạo hàma) Tiếp tuyến của đường cong phẳngCho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) là một điểm di chuyển trên (C); khác Đường thẳng à một cát tuyến của (C)Khi x thì điểm M di chuyển trên (C) tới điểm Giả sử cát tuyến có vị trí giới hạn là thì được gọi là tiếp tuyến của (C) tại . được gọi là tiếp điểm.Vẽ đồ thị của hàm số f(x) = b) Tính f’(1)=? c) Tìm đường thẳng đi qua điểm M (1 ; và có hệ số góc f’(1) ?y = x - f(x) = b) Giả sử là số gia của đối số tại Ta có: Vậy c) Đường thẳng d có dạng y = ax + b Vì hệ số góc bằng f’(1) = 1 nên a =1=> d: y = x + bM( 1 ; ) nên = 1 + b=> b = Vậy đường thẳng cần tìm là y = x - b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm* Định lí 2:Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến T của (C) tại điểm (; f()). c) Phương trình tiếp tuyếnPhương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm (; ()) là: - = )( x),trong đó = )Muốn viết phương trình tiếp tuyến ta cần biết những yếu tố nào ?Phương trình đường thẳng qua Mo(xo ; yo) và có hệ số góc ky – yo = k.(x – xo)Theo định lý 2 k = f’(xo)y – yo = f’(xo).(x – xo)Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = – + 3x – 2. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ = 1.Theo định lí 2, tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ = 1; tức là tính gì ?Giải:Giả sử là số gia của đối số tại = 1. Ta có: = f(1 + ) – f(1) = + 3(1 + ) 2 – 0= ( 1 + 2 + ) + 3 + 3= = ( 1) = ( 1) = ( 1)] = 1=> f’(1) = 1Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là 1Ví dụ 3:Cho parabol y = f(x) = – + 3x – 2.Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ = 1?Giải:Hệ số góc của tiếp tuyến là f’(1)= 1 (Ví dụ 2)Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ = 1 là:hay Ngoài ra ta có: f(1) = 06. Ý nghĩa vật lí của đạo hàmVận tốc tức thời:Cường độ tức thời:Ví dụ 4 : Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = ( t được tính bằng giây, s tính bằng mét ). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm = 1 ( giây) là ?A) 1 m/sB) 2 m/sC) 3 m/sD) 4 m/sA) 1 m/s) = s) = ?Củng cố2) Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị:3) Phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đồ thị hàm số: 1) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại thì nó tại điểm đó. liên tục) - = )( x) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm (; ()) là: - = )( x) => )( x)+ trong đó = )Luyện tậpViết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol Tại điểm Tại điểm có hoành độ bằng -1;Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng a) Tại điểm Giải: Vậy Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm là b) Tại điểm có hoành độ bằng -1 Điểm có hoành độ bằng -1 thì Giải: Ta có: Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 là:c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng Giải:Gọi là hoành độ tiếp điểm. Ta có: .Với ta có , phương trình tiếp tuyến là: Với ta có , phương trình tiếp tuyến là: