Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài học: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần của X trên một đường tròn gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử của tập X.Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau được tính bởi công thức: Qn=(n-1)!. Vì sao? GV: Đỗ Văn Kỷ- Trường DTNT THPT Than Uyên. Nếu xếp n phần tử vào một bàn tròn, 2 cách xếp khác nhau bởi một phép quay coi như là 1. Nguyên nhân dẫn đến điều đó chính là vai trò của các phần tử là như nhau, dù xếp kiểu gì cũng chỉ là 1 cách. Để giải quyết vấn đề đó, ta cố định lại một vị trí trên bàn tròn ( 1 điểm đặc biệt duy nhất ), và sắp xếp n−1 phần tử còn lại. Do đó số hoán vị của n phần tử khi xếp vào một bàn tròn sẽ là (n−1)!Các cách sắp xếp các phần tử của X trên một đường tròn mà sai khác nhau một phép quay được coi là cùng một hoán vị vòng quanh vì vai trò các phần tử là như nhau, dù xếp kiểu gì cũng chỉ là một cách. VD: Xét 1 kết quả hoán vị: Một bàn tròn gồm 4 ghế, xếp 4 người vào 4 ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp? HD: có tất cả 3! = 1.2.3 = 6 (cách) Ta xét 1 kết quả hoán vị như H.1 trong số 6 cách, sau khi qua phép quay dưới đây ta được H.2 vẫn chỉ là 1 kết quả hoán vị do vai trò các đối phần tử là như nhau (chỉ khác về vị trí địa lí mà kết quả liền kề giữa các đối tượng không thay đổi: A vẫn cạnh B, B cạnh C, C cạnh D, D cạnh A ).ABCDABCDABCDABDC Một bàn 4 ghế, khi lấy 1 đối tượng trong số 4 đối tượng sắp vào 1 vị trí bất kì và hoán vị chỗ 3 đối tượng còn lại vào ba vị trí còn lại thì ta được số các hoán vị chỗ của 4 đối tượng . VD mỗi kết quả sau là hai hoán vị khác nhau. H.1H.2Ví dụ 1 : Tổ 1 có tất cả 10 học sinh.Mỗi cách xếp 10 học sinh này vào một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 10 phần tử nên số cách xếp thỏa mãn đề bài là:9!= 362880 cách xếp.Ví dụ 2 : Cuối năm học, các học sinh giỏi lớp 11A2 có tổ chức ăn liên hoan. Tổ 1 có 3 học sinh giỏi; tổ 2 có 4 học sinh giỏi; tổ 3 có 2 học sinh giỏi và tổ 4 có 3 học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh này vào một bàn tròn?A.10! B.11! C.12! D.13!Hướng dẫn giải : Đáp án : BLớp 11A2 có tất cả số học sinh giỏi là: 3+ 4+ 2+ 3= 12 học sinh giỏiViệc xếp 12 học sinh giỏi này vào một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 12 phần tử nên số cách xếp thỏa mãn là: 11! cách xếp.Ví dụ 3 : Tổ 4 của lớp 12A3 có 4 học sinh nữ và 5 học sinh nam . Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh này vào một bàn tròn sao cho nhóm học sinh nữ ngồi với nhau; nhóm học sinh nam ngồi với nhau. A.1280 B.1660 C.2880 D.1860Hướng dẫn giải : Đáp án : C+ Ta coi 4 học sinh nữ là một nhóm X và 5 học sinh nam là nhóm Y.+ Số cách xếp hai nhóm X và Y vào bàn tròn là (2-1)!= 1 cách .+ Số cách xếp 4 học sinh nữ trong nhóm X là 4!.+ Số cách xếp 5 học sinh nam trong nhóm Y là 5!.⇒ Có: 1. 4!. 5!= 2880 cách xếp thỏa mãn đầu bài.