Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Phương pháp quy nạp toán học

ÔN TẬP CHƯƠNG 3TỔ 3_11A6Quy nạp toán họcCấp số cộng Dãy số Cấp số nhân 01030204Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n=k (gọi là giải thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCVới n là số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: ( 7 (1)Ví dụLời giảiKhi n = 1 ta có: = 0 Vậy (1) đúng với n = 1Giả sử đẳng thức đúng với n ta có:- k (giả thiết quy nạp)Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là:- ( k + 1 ) Thật vậy ta có:- ( k + 1 ) = - k ) + () + - 1)- k (theo giả thiết quy nạp); ; - 1=0 => - ( k + 1 ) (đpcm)Vậy ( 7 DÃY SỐ1. ĐỊNH NGHĨA2. CÁCH CHO DÃY SỐ1. Dãy số cho bằng công thức tổng quát 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồiA. DÃY SỐ: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn. Kí hiệu: u: n u(n)B. DÃY SỐ HỮU HẠN: Mỗi hàm số u xác định trên tập M= {1,2,3, ,m} với m N* được gọi là dãy số hữu hạn. 3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặnDãy số được gọi là dãy số tăng nếu ta có với mọi nN* Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ta có với mọi nN* Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho Dãy số được gọi là bị chặn nếu vừ bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m,M sao cho VÍ DỤCho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4. Trên cạnh BC, ta lấy điểm sao cho =1. Gọi là hình chiếu của trên CA, là hình chiếu của trên AB, la hình chiếu của trên BC, là hình chiếu của trên CA và cứ tiếp tục như thế. Đặt . Hãy cho dãy số nói trên bởi công thức truy hồi.Từ A, dựng AP vuông góc BC tại PTừ B, dựng BM vuông góc AC tại MTừ C, dựng CN vuông góc AB tại N = = = 1 . = = 1 . = )LỜI GIẢI=> = = 1 .( 1 )=> = [1 ( 1 )] => = 1(1 )]=> = => CAn = Vậy công thức truy hồi là un= = 3; = 1.1. ĐỊNH NGHĨACẤP SỐ CỘNG- CSC là một dãy số vô hạn hoặc hữu hạn, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số hạng không đổi d.- Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.+) Khi d = 0 thì CSC là dãy số không đổi.un+1= un+d với n N* (1)ĐỊNH LÍ 1: 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁTNếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bới công thức: un = u1 + (n-1)d với n (2)Chứng minh : SGK/943. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNGĐỊNH LÍ 2:Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: Uk = với k (3)Chứng minh: SGK/95Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + .+un.Khi đó: Sn = (4)4. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG Chú ý: ĐỊNH LÍ 3:Vì un = u1 + (n - 1)d nên công thức (4) có thể viết thành: Sn = nu1 + (4’)Khi kí hợp đồng lao động, công ty M đề xuất 2 phương án trả lương cho bạn Nhi cụ thể như sau:- Phương án 1: Nhi sẽ được nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.- Phương án 2: Nhi sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý.Nếu là Nhi, bạn sẽ chọn phương án nào?VÍ DỤ: LỜI GIẢI: Phương án 1: Tổng số tiền nhận được sau n năm đầu tiên là: Sn = = 34,5n +1,5n2 ( triệu đồng) Phương án 2: Tổng số tiền nhận được sau m quý đầu tiên là:Sm= Xét số thời gian làm việc là như nhau: => m= 4n Sm = 27n + 4Xét hiệu Sm Sn có: Sm Sm n Mà n N*Vậy làm việc từ năm thứ 3 trở đi thì tổng thu nhập của phương án 2 sẽ lớn hơn phương án 1. Nếu là Nhi, em sẽ chọn phương án 2.1. ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ NHÂN Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: Un+1 = un.q với n N* (1)+) Khi q=0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, ., 0, +) Khi q=1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1, , u1, +) Khi q=0 thì với mọi số q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, , 0, Đặc biệt:2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT ĐỊNH LÍ 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:Un = u1. qn-1 với n 2 (2)ĐỊNH LÍ 2: 3. TÍNH CHẤT CỦA CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: u2k = uk-1 . uk+1 với k (3)Hay |uk| = ĐỊNH LÍ 3: 4. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂNCho cấp số nhân (un) với công bội q 1. Đặt Sn = u1 + u2 + .+ un.Khi đó: Sn = (6)Chú ý: Nếu q=1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1, , u1, Khi đó Sn= n.u1.VÍ DỤ: Dân số thành phố A hiện nay là 3 triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của thành phố A là 2%. Hỏi dân số thành phố A sau 10 năm nữa sẽ là? LỜI GIẢI: Gọi dân số thành phố A hiện nay là u1. u1 = 3 (triệu người)Dân số của thành phố A tăng theo cấp số nhân qua từng năm, theo đề bài có: un = (102%)n-1.3 (triệu người)Vậy sau 10 năm dân số của thành phố A là: u10 = (102%)9.3 = 3,585277 (triệu người)LUYỆN TẬPCHƯƠNG 3C1: Cho dãy số () xác định bởi = – 4n – 2. Khi đó bằng:A. 48	B. 60	C. 58	D. 10C2: Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n. Khi đó công thức truy hồi của dãy là:A. un+1 = 1 +3un với n ≥ 1	B. un+1 = 1 +3un + 3n+1 với n ≥ 1C. un+1 = un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1	D. un+1 = 3un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1C3: Cho dãy số (un). Khi đó số hạng thứ 5 của dãy un là: với mọi n 1 = nA. 10	B. 48	C. 16	D. 6C4: Cho dãy số un=4n + n với mọi n ≥ 1. Khi đó số hạng un+1 của dãy là:A. 4n + n + 1	B. 4n+1 + nC. 4n + 1	D. 4n+1 + n + 1C5: Cho cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu bằng 3 số hạng cuối bằng 24. Tính tổng các số hạng nàyA. 105	B. 27	C. 108	D. 111C6: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?A. a2 + c2 = 2ab + 2bc.	B. a2 - c2 = 2ab - 2bc.C. a2 + c2 = 2ab - 2bc.	D. a2 - c2 = ab - bc.C7: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 4 ; q = - 4 Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un?A. 16; -64; 256; (-4)n.	B. 16; -64; 256; (-4)n.C. -16; 64; 256; 4.(-4)n - 1.	D. -16; 64; -256; 4n.C8: Xác định x để 3 số 2x - 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân:A. x = 	B. x = C. x = 	D. Không có đáp án đúngCẢM ƠN THẦY VÀ CÁC BẠN ĐÃ LẮNG NGHE