Bài giảng Toán 11 - Chương III, Bài 3: Cấp số cộng - Năm học 2022-2023

NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ GIÁO ĐẾN DỰ GIỜ LỚP 11A 
Khởi động 
Biết bốn số hạng đầu tiên của một dãy số là 3,7,11,15 . 
Hãy chỉ ra quy luật của dãy số trên và viết tiếp năm số hạng của dãy số đã cho ? 
Quy luật của dãy số trên là : 
 7=3+ 4 ; 11=7+ 4 ; 15=11+ 4 . 
Số hạng sau bằng số hạng trước cộng thêm 4 
Năm số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là : 19,23,27,31,35 
BÀI GIẢI 
Chương 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 
Bài 3. CẤP SỐ CỘNG 
ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG 
I 
SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 
II 
TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG 
III 
TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG 
IV 
BÀI TẬP 
V 
TIẾT 41 
I. 
ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG 
Định nghĩa 
1. 
Định nghĩa 
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . 
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 
Nếu là cấp số cộng với công sai ta có công thức truy hồi 
 , 
Đặc biệt khi thì CSC là một dãy số không đổi. 
I. 
ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG 
Nhận xét 
- Công thức cho phép tính được một số hạng của CSC nếu biết công sai và số hạng đứng ngay trước nó hoặc ngay sau nó . 
- Tính được công sai nếu biết hai số hạng liên tiếp 
Muốn chứng minh một dãy số là cấp số cộng ta chứng minh , trong đó là hằng số. 
Nếu là cấp số cộng với công sai ta có công thức truy hồi 
 , 
I. 
ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG 
Bài giải 
Ví dụ 1 
 Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: 
Vì ; 
 ; 
 ; 
Nên theo định nghĩa, dãy số là một cấp số cộng 
với công sai . 
I 
ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG 
Bài giải 
Ví dụ 2 
 Cho dãy số có 3n-5 . 
Chứng minh dãy số đã cho là một cấp cố cộng? 
Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó? Viết 5 số hạng đầu của cấp số cộng đó? 
b ) Số hạng đầu: 
 Công sai: 
Ta có : 
Vậy dãy số đã cho là một cấp số cộng . 
 5 số hạng đầu là 
1 taàng 
2 taàng 
3 taàng 
U 1 = 
U 2 = 
U 3 = 
3 
? 
7 
? 
11 
? 
100 taàng 
U 100 = ? 
Ví dụ 3 
Mai và Hùng chơi xếp que diêm thành hình tháp, cách xếp được thể hiện như sau. 
Hỏi : nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp? 
II. 
SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 
Định lí 1 
Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức : 
 với 
Chứng minh: sgk 
1 taàng 
2 taàng 
3 taàng 
U 1 = 
U 2 = 
U 3 = 
3 
? 
7 
? 
11 
? 
100 taàng 
U 100 = ? 
Ví dụ 3 
Mai và Hùng chơi xếp que diêm thành hình tháp, cách xếp được thể hiện như sau. 
Hỏi : nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp? 
II. 
SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 
Bài giải 
Ví dụ 4 
 Cho cấp số cộng , biết . 
a) Theo công thức ta có 
 a) Tìm 
 b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu ? 
 với 
b) Theo công thức ta có . 
Vì nên 
 	 . 
Vậy 100 là số hạng thứ 36. 
 Năm số hạng đầu của cấp số cộng trên là được biểu diễn bởi các điểm tương ứng trên hình vẽ 
Nhận xét: điểm là trung điểm của đoạn thẳng hay 
Ta cũng có kết quả tương tự với và 
Từ hình ảnh biểu diễn hình học của 5 số hạng đầu cấp số cộng trong ví dụ và sách giáo khoa, em hãy nêu nhận xét tính chất các số hạng của một cấp số cộng 
Em có nhận xét gì về vị trí của u 2 so với u 1 , u 3 và u 4 so với u 3 ,u 5 ? 
III. 
TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG 
Định lí 2 
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: 
Chứng minh: sgk 
III. 
TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG 
Bài giải 
Ví dụ 5 
 Tìm biết các số ; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng . 
Vì ; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng 
 Nên: 
 Vậy với thì các số ; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng . 
Em hãy nêu ý tưởng để giải bài tập này? 
 Gauss được sinh ra tại Braunschweig , thuộc Brunswick-Lüneburg (nay là Hạ Saxony , Đức ), con trai duy nhất của một cặp vợ chồng thuộc tầng lớp thấp trong xã hội. Theo giai thoại kể lại, tài năng bẩm sinh của Gauss được phát hiện khi ông mới lên ba, qua việc ông sửa lại lỗi của cha trong tính toán tài chính. Một câu chuyện khác kể rằng khi ông học tiểu học , thầy giáo yêu cầu học sinh tính cộng các số nguyên từ 1 đến 100. Gauss đã trả lời đúng chỉ trong vài giây bằng một cách giải nhanh và độc đáo. Ông nhận thấy việc cộng hai số ở đầu và cuối dãy tạo ra kết quả trung gian giống nhau: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, và kết quả tổng cộng là 50 × 101 = 5050. Câu chuyện này có nhiều khả năng là chuyện có thật, mặc dù bài toán mà thầy giáo của Gauss đã ra có thể khó hơn như vậy. 
Thời tuổi trẻ của Gauss 
ĐẶT VẤN ĐỀ : cho cấp số cộng 1;2;3;4;5;...;98;99;100. tính : 	S n = 1+2+3+4+5+...+98+99+100 
NHẬN XÉT : 
1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+100 
1+100=101 
2+99=101 
3+98=101 
4+97=101 
5+96=101 
KẾT LUẬN : từ 1 đến 100 có 50 cặp ,mà mỗi cặp có tổng bằng 101 nên: 
số hạng đầu:u 1 
số hạng cuối :u n 
số cặp: 
=> Tổng quát :S n = ? 
IV. 
TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG 
IV. 
TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG 
Định lí 3 
Cho cấp số cộng . Đặt . Khi đó 
Chú ý 
Vì nên công thức có thể viết 
Lưu ý : công thức (4) sử dụng khi biết n,u 1 ,u n 
 công thức (4 ) sử dụng khi biết n,u 1 ,d 
Tuỳ theo điều kiện đề bài mà ta sử dụng hợp lý 
IV. 
TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG 
Bài giải 
Ví dụ 6 
 Cho cấp số cộng với 
a ) Vì nên theo công thức ta có 
a ) Tính tổng của 50 số hạng đầu. 
b ) Biết tìm . 
IV. 
TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG 
Bài giải 
c) Vì nên theo công thức ta có: 
Ví dụ 6 
 Cho cấp số cộng với 
b ) Biết , tìm . 
CẤP SỐ CỘNG 
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG 
 với 
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 
 với 
ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG 
Dãy số được gọi là cấp số cộng 
 , không đổi. 
IV. TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG 
Hoặc 
 CỦNG CỐ 
 Các nhóm làm vào phiếu học tập và tính điểm 
Bài tập về nhà: Bạn Lan muốn tiết kiệm tiền bằng cách: ngày thứ nhất bạn Lan bỏ vào heo đất 10.000 đồng, hôm sau bỏ nhiều hơn hôm trước 2.000 đồng. Hỏi: 
a/ Ngày thứ 30 Lan phải bỏ vào heo đất bao nhiêu tiền ? 
b/ Sau 30 ngày Lan tiết kiệm được bao nhiêu tiền ? 
c/ Để đủ tiền mua quà cho Mẹ giá 190.000 đồng thì Lan cần mất bao bao nhiêu ngày kể từ ngày bắt đầu tiết kiện ? 
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! 
BÀI HỌC ĐẾN ĐÂY KẾT THÚC, CHÚC CÁC THẦY CÔ GIÁO VÀ CÁC EM HỌC SINH SỨC KHỎE