Giáo án Toán 11 - Bài 7: Phép vị tự

§➐. PHÉP VỊ TỰ
Chương 1:
Tóm tắt lý thuyết
Ⓐ
➊.Định nghĩa
Cho điểm O và số k ¹ 0. PBH biến mỗi điểm M thành điểm M¢ : OM'=kOM đgl phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Kí hiệu: V(O,k).
O: tâm vị tự, k: tỉ số vị tự.
²Nhận xét:
V(O,k): O ↦O
Khi k =1 thì V(O,1) là phép đồng nhất.
Khi k= –1 thì V(O,–1) = ĐO
V(O,k)(M) = M¢ Û V(O,1k)(M¢) = M 
➋.Tính chất: 
²Tính chất 1:
V(O,k):M↦M'N↦N'⇒M'N'=k.MNM'N'=k.MN
²Tính chất 2: Phép V(O,k):
Biến 3 điểm thẳng hàng ® 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
Biến đt ® đt song song hoặc trùng với nó, 
Tia ® tia, đoạn thẳng ® đoạn thẳng.
Biến tam giác ® tam giác đồng dạng với nó, 
Biến góc ® góc bằng nó.
Biến đường tròn bán kính R ® đường tròn bán kính /k/R.
➌.Tâm vị tự của hai đường tròn 
²Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Tâm của phép vị tự đó đgl tâm vị tự của hai đường tròn.
² Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn (I; R) và (I; R¢):
Trường hợp I trùng với I¢
 V(I,R'R):(I;R)→(I;R')
 hoặc: V(I,-R'R):(I;R)→(I;R')
Trường hợp I ¹ I¢ và R ¹ R¢
Ta có hai tâm vị tự trong và ngoài.
Trường hợp I ¹ I¢ và R = R¢
Tâm vị tự là trung điểm của II¢
Phân dạng bài tập
Ⓑ
 ①. Dạng 1: Tìm ảnh, tạo ảnh của một điểm qua một phép vị tự
³Bài tập minh họa
Câu 1: Tìm ảnh A' của điểm A3;4qua phép vị tự tâm I2;5,k=2 
Lời giải
Ta có VI;2:A→A'
⇒x'=2.3+1-2.2=4y'=2.4+1-2.5=3⇒A'4;3
Câu 2: Cho I-2;1,M1;1,M'-1;1, phép vị tâm I biến điểm Mthành M' có hệ số k bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có IM3;0,IM'1;0; ⇒IM'=3.IM⇒k=3. 
Câu 3: Cho M-3;5,M'4;6. Tìm tâm I phép vị biến điểm Mthành M' có hệ số k=2.
Lời giải
Ta có VI;2:M→M'
⇒4=-3.2+1-2.a6=5.2+1-2.b⇒a=-10b=4⇒I-10;4
Câu 4: Cho ba điểm A0;3,B2;-1,C-1;5. Tồn tại hay không tồn tại một phép vị tự tâm A tỉ số k để biến B thành C?
Lời giải
	Giả sử tồn tại một phép vị tự tâm A, tỉ số k biến B thành C.
	Có C=VA;k(B)⇔AC=kAB⇔-1=k.22=k.(-4)⇔k=-12k=-12⇔k=-12(đúng). Kết luận tồn tại phép vị tự tâm A tỉ số k=-12 để biến B thành C.
 ②. Dạng 2: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường thẳng qua một phép vị tự
Câu 1: Cho d:x-2y+1=0. Tìm ảnh d' của d qua phép vị tự tâm I2;1 có hệ số k=2:
Lời giải
Ta có VI;2:d→d' ⇒d//d'⇒nd'=nd'=1;-2
M1;1∈d ⇒VI;2:M→M'∈d'
⇒x'=1.2+1-2.2y'=1.2+1-2.1⇒x'=0y'=1⇒M'0;1
⇒ pttq của d':x-2y-1=0⇔x-2y+2=0.
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d:3x+2y-6=0 . Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I1;2 tỉ số vị tự k=-2 ?
Lời giải
	Gọi M(x;y)∈d⇔3x+2y-6=0 (1).
	Gọi M'(x';y') là ảnh của M qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2:
	⇔IM'=-2IM⇔x'-1=-2x-1y'-2=-2y-2⇒x=x'-1-2+1=x'-3-2y=y'-2-2+2=y'-6-2. 
	Do đó 1⇔ 3x'-3-2+2y'-6-2-6=0⇔3x'+2y'-9=0 
 ⇔M'∈d':⇔3x'+2y'-9=0
	Do vậy ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự là d':3x+2y-9=0
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:5x+2y-7=0. Tìm ảnh d' của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2.
Lời giải
d 
M
M' 
O
d' 
Cách 1: Do d'song song hoặc trùng với d. Nên d'có dạng 5x+2y+c=0.
Lấy M1;1∈d. Khi đó: VO,-2M=M'x';y'⇔OM'=-2OM⇒M'-2;-2
Thay vào d'⇒c=14. Vậy d':5x+2y+14=0
Cá 2: Gọi Mx;y∈d:VO,-2M=M'x';y'⇒x'=-2xy'=-2y⇔y=x=-12x'y=-12y'
Thế vào phương trình đường thẳng d:-52x'-y'-7=0⇔5x'+2y'+14=0 
Vậy d':5x+2y+14=0.
③. Dạng 3: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua một PVT
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy,cho đường tròn (C):x2+y2-6x+4y-12=0. Tìm phương trình đường tròn(C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(2;1) tỉ số k=-12.
Lời giải
	(C) có tâm A(3;-2), bán kính R=5 
	(C') có tâmA'(x';y'), bán kính R'=52
Vì A' là ảnh của A qua phép vị tự tâmI, tỉ số k=-12 ⇒IA'=-12IA 
IA'=(x'-2;y'-1); IA=(1;-3) 
⇒A'32;52⇒(C'):x2+y2-3x-5y+94=0
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): x-32+y+12=9. Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2.
Lời giải
	Đường tròn (C ) có tâm K3;-1 bán kính R=3. Gọi K'(x';y')là tâm và R’ là bán kính của (C’), với (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2. Ta có tọa độ của K’ thỏa mãn biểu thực tọa độ của phép vị tự :
	IK'=-2IKR'=-2R⇔x'-1=-2x-1y'-2=-2y-2R'=2R⇔x'-1=-23-1y'-2=-2-1-2R'=2.3=6⇔x'=-3y'=8R'=6⇒K'-3;8 
	Vậy (C’) : ⇔x+32+y-62=36
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một phép biến hình T biến điểm Mx;y thành M'x';y' xác định bởi biểu thức tọa độ sau đây: x'=3x-4y'=3y-2 
a) Chứng minh T là một phép vị tự.
b) Tìm ảnh (C’) của đường tròn C:x2+y-12=1 qua phép biến hình T.
	Lời giải
	Gọi I là điểm biến hình chính nó qua phép biến hình đã cho. Ta có x'=xy'=y nên 
	x=3x-4y=3y-4⇔x=2y=1 
	Vậy điểm I2;1 biến thành chính nó là tâm vị tự.
	Ta có IM=x-2;y-1;IM'=x'-2;y'-1=3x-6;3y-3=3x-2;y-1 
	⇒IM'=3IM. Vậy T là phép vị tự tâm I2;1 tỉ số k=3.
b) Từ x'=3x-4y'=3y-2⇒x=13x'+4y=13y+2, thay vào C:x2+y-12=1 ta được:
	19x'+42+13y'-132=1⇔x'+42+y'-12=9 
	Vậy phương trình C':x+42+y-12=9.
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C:x-12+y-12=4. Tìm ảnh C' của C qua phép vị tự tâm I-1;2 tỉ số k=3?
Lời giải
Đường tròn C có tâm J1;1, bán kính R=2.
VI,3J=J'x';y'⇒x'=-1+31+1=5y'=2+31-2=-1⇒J'5;-1
R'=3R=6⇒C':x-52+y+12=36 
④. Dạng 4: Xác định tâm vị tự của hai đường tròn.
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C):(x+4)2+y2=2 và đường tròn (C)':(x-2)2+(y-3)2=8. Tìm phép vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C')?
Lời giải
(C) có tâm A(-4;0), bán kính R=2 
(C') có tâmA'(2;3), bán kính R'=22
TH 1 : VI;R'R(C)=(C')⇒VI;2(A)=(A')⇒IA'=2IA⇒I(-10;-3) 
TH2 : VJ;-R'R(C)=(C')⇒VJ;-2(A)=(A')⇒JA'=-2JA⇒J(-2;1)