Giáo án Hình học Lớp 11 - Bài 5: Khoảng cách (Tiết 1) - Vũ Thuỳ Linh

Người soạn: Vũ Thuỳ Linh
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Thu Hương
Ngày dạy:02/04/2021
TÊN BÀI (CHỦ ĐỀ):KHOẢNG CÁCH 
(TIẾT 1)
Mục đích:
 * Về kiến thức:
 + HS biết các khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song. 
 + HS biết khái niệm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
 * Về kỹ năng:
 + HS biết xác định các loại khoảng cách đã học.
Chuẩn bị:
 * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu, máy chiếu.
 * Học sinh: Chuẩn bị bài trước ở nhà theo yêu cầu của GV.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:
 + Xác định góc giữa hai mặt phẳng ?
 + Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc ?
 + Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ?
 * Bài mới:
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
* Mục tiêu: Nắm vững các khoảng cách giữa các đối tượng và biết tìm khoảng cách giữa các đối tượng. 
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
-Xét chiều cao của cánh diều và kim tự tháp. Từ đó hình thành cho học sinh khái niệm về khoảng cách trong không gian.
B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
* Mục tiêu: Nắm vững các khoảng cách giữa các đối tượng và biết tìm khoảng cách giữa các đối tượng. 
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Cho điểm O và đt a. Trong mp(O,a) gọi H là hình 
chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách OH đgl khoảng cách từ điểm O đến đt a. Kí hiệu d(O,a). 
Phương pháp: cho HS quan sát hình và rút ra nhận xét, GV chính xác hoá lại kiến thức sau những quan sát và nhận xét của HS.
Trong hình vẽ (bên dưới) hãy tìm điểm trên đường thẳng d có khoảng cách đến O là nhỏ nhất? Vì sao? 
+d(O;a)=OH. 
+d(O;a)=0ÛOÎa.
+ d (O; a ) = OH £ OM , "M Î a. 
VD 1. Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường chéo AC¢? 
Ta có, AB ⊥ (BCC¢B¢)Þ AB ⊥ BC¢ 
Do đó DABC¢ vuông tại B.
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên cạnh AC ,suy ra: 
d (B; AC¢)= BH
+ Xét DABC¢,có: 1BH2=1AB2+1BC'2
Mà AB = a, BC’ = a2
=> 1BH2=1a2+12a2
Vậy dB;AC'=BH=a63
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
Cho O và mp(α ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (α). Khi đó khoảng cách OH đgl khoảng cách 
từ điểm O đến mp(α ). Kí hiệu d (O,(α)). 
Phương pháp: HS tiếp tục quan sát hình vẽ để rút ra nhận xét sau đó GV chính xác hoá lại kiến thức.
Trong hình vẽ (bên dưới) hãy tìm điểm trên mp(α )có khoảng cách đến O là nhỏ nhất? Vì sao? 
+d(O;a)=OH. 
+d(O;a)=0ÛOÎa.
+ d (O;a ) = OH £ OM , "M Îa. 
VD2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khỏang cách từ tâm O của đáy ABCD đến mặt phẳng 
(SCD)? 
+ Gọi I là là trung điểm cạnh CD, kẻ OH ⊥ SI (1). 
Ta có SI⊥CD, OI⊥CD=>CD⊥(SIO)
Ta lại có: OH⊂(SIO)
=> OH⊥CD (2)
Từ (1) và (2) Þ OH ⊥ (SCD) 
Nên d(O;(SCD))=OH.
+ Xét DSIO vuông tại O, ta có: 
1OH2=1OI2+1OS2 (*)
Mà OI=a2 và OS=a2
=> 1OH2=1a24+12a2
Vậy d(O;(SCD))=OH= a23
II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 
Cho a // (α). Khoảng cách giữa a và (a) là khoảng cách từ một điểm bất kí của a đến (a). Kí hiệu d (A,(a)). 
Phương pháp: HS quan sát hình rút ra những nhận xét cần thiết, GV chính xác hoá lại kiến thức.
Quan sát hình vẽ (bên dưới). Cho đường thẳng a song song với mp(a). Hãy so sánh độ dài của các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’, DD’? Nhận xét?
+d(a;(a))= AA¢= BB¢. 
( Với A,BÎa, A¢,B¢ lần lượt là hình 
chiếu vuông góc của A, B trên mặt phẳng mp(a). 
VD3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cáccạnh AB=a,AD=2a,AA¢=3a. Tínhkhoảng 
cách giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng 
(AA’C’C) theo a
Ta có: BB’// AA’ và BB’//CC’
BB’ // (AA’C’C)
+ Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với (AA’C’C) tại H ( H ∈ AC)
+ d(BB’; (AA’C’C)) = d(B;AC) = BH
+Xét DABC vuông tại B, 
Ta có: 1BH2=1BA2+1BC2
Mà AB = a, BC = 2a
=> 1BH2=1a2+14a2
Vậy d(BB’;(AA’C’C)) = BH = a205
II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mp (α), (β)song song là khoảng 
cách từ một điểm bất kì của mp này đến mp kia. Kí hiệu 
d(a;b)
Phương pháp: HS quan sát hình vẽ rút ra nhận xét sau đó GV chính xác hoá lại kiến thức.
Quan sát hình vẽ (bên dưới). Cho hai mặt phẳng song song (α)và (β). Gọi A,B,C, D,E,F thuộc(α) và A¢, B¢, C¢, D, E, F là hình chiếu vuông góc tương ứng của chúng xuống (β). 
Hãy so sánh độ dài của các đoạn thẳng AA', BB', CC', DD'...? Nhận xét và nêu cách xác định k/c giữa hai mặt phẳng song song trong không gian? 
+d(a;b)= d(M;b),"M Îa.
 +d(a;b)= d(M¢;a),"M¢Îb. 
VD4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A¢B¢C¢D¢)bằng:
AC’
AB’
AD’
AA’
Ta có d ((ABCD),(A¢B¢C¢D¢))= AA¢
Chọn D
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP: 
* Mục tiêu: thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong sgk
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến (SBD) bằng 6a7 . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng 
(SBD)?
12a7
3a7
4a7
6a7
Do ABCD là hình bình hành 
Þ AC Ç BD = O là trung điểm của AC và BD
 Þ d (C,(SBD)) = d (A,(SBD)) = 6a7
Chọn D
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = 3a , AB = a3, BC = a6. Khoảng cách từ B đến SC bằng: 
2a3
a3
a2
2a
Do BC ⊥ AB ; SA ⊥ BC suy ra BC ⊥ SB . Kẻ BH ⊥ SC .
Vậy khoảng cách từ B đến SC là BH , trong tam giác vuông SBC : 
1BH2=1SB2+1BC2
Trong đó: SB=SA2+AB2=2a3, BC=a6 suy ra BH=2a
Chọn D
Bài tập 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA=a3 , SA ⊥ (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 
a32
2a3
a34
a
Ta có BC ⊥ SA và BC ⊥ AB nên BC ⊥ ( SAB ) Þ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) . 
Mặt khác (SBC)Ç(SAB)=SB. Do đó từ A kẻ AH⊥SB Þ AH⊥(SBC) 
hay AH = d (A, (SBC)). Trong tam giác vuông SAB ta có:
1AH2=1SA2+1AB2=13a2+1a2=43a2
Vậy AH=a32
Chọn A
D.HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG:
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
- Làm bài tập 4 – 5 SGK trang 119.
Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a. Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM. 
a3010
a310
a309
a32
Ta có SA (ABCD) mà IO//SA, do đó OI ( ABCD). Trong mặt phẳng ( ABCD) dựng H là hình chiếu vuông góc của O trên CM, ta có IH⊥CM và IH chính là khoảng cách từ I đến đường 
thẳng CM. Gọi N là giao điểm của MO với cạnh CD. 
Hai tam giác MHO và MNC đồng dạng nên.
OHCN=OMMC=>OH=CN.OMMC=a2.a2a52=a25
Lại cóOI=SA2=a2
và IH2 =IO2 +OH2 = a24+a220=3a210
Vậy dI,CM=IH=a310=a3010
Chọn đáp án A
Bài tập 2. Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢có cạnh là a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A¢BD).
a32
a33
a3
a24
Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
Vì AA¢⊥(ABCD) nên AA¢⊥BD. Mặt khác AO ⊥ BD. Suy ra BD ⊥ (OAA¢). hay 
(A¢BD)⊥(OAA¢). 
Trong mặt phẳng (OAA¢) kẻ AH ⊥ OA¢. 
Khiđó AH⊥(A¢BD)hay d(A,(A¢BD))= AH . 
Xét ∆OAA’ vuông tại A có: 
1AH2=1AO2+1AA'2=2a2+1a2=3a2
Vậy dA,A'BD=a33
Chọn đáp án B