Toán 11 - Lý thuyết phương trình lượng giác

LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1) Công thức cơ bản:
 ; 
2) Hai góc liên quan đặc biệt( ‘sin bù’, ‘cos đối’, ‘phụ chéo’, ‘hơn nhau pi tang, côtang)
Bù nhau: 
 và x
Hơn nhau :
 và x
Đối nhau:
 và 
Phụ nhau:
 và x
Hơn nhau: 
 và x
3) Công thức cộng (‘cos .cos +-sin sin => cos-+; sin cos +- cos sin=>sin+-; .)
Hệ quả: 	
Công thức nhân đôi: 	,	 	
Công thức nhân ba:	
Công thức hạ bậc: 	,	
Đẳng thức ;	
4) Công thức biến đổi tích thành tổng:
5) Công thức biến đổi tổng thành tích:
Hệ quả: 
B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:
I.Phương trình lượng giác cơ bản 
1) 	(1) ( Bấm )
 +)|m|>1 (1) vô nghiệm vì |sinx|1 với xR.
 +)|m|1, (1) có nghiệm nếu có đẹp sao cho m=sin, thì 
	 (kZ).
 Nếu -lẻ thì ta dùng hàm ngược arcsin(m)
.
	3 trường hợp đặc biệt (cho 1 họ nghiệm)
, kZ;
, kZ;
, kZ.
 Với .
 (a)
2) 	(2) ( Bấm )
	+)|m|>1 (1) vô nghiệm vì |cosx|1 với xR.
	+)|m|1, nếu có đẹp sao cho , thì
	 (kZ).
Nếu -lẻ thì dùng hàm ngược arccos(m)
 Trường hợp đặc biệt (cho 1 họ nghiệm)
, kZ;
, kZ;
, kZ.
 (b)
3) tanx=m	(3) ( Bấm )
	Với mọi m thì phương trình (3) luôn có nghiệm
 Nếu - đẹp sao cho thì 
	 , kZ.
 Nếu - lẻ thì .
 (c)
4) cotx=m	(4) ( Bấm )
	Với mọi m thì phương trình (4) luôn có nghiệm:
 Nếu - đẹp sao cho thì 
	 , kZ.
 Nếu -lẻ thì ().
 Đặc biệt: .
 (d)
Lưu ý: Trong công thức nghiệm đối với sin và côsin thường được 2 họ nghiệm cộng với hoặc ; còn trong công thức nghiệm đối với tang và côtang thường ta được 1 họ nghiệm cộng với hoặc 
-Đối với phương trình k phải cơ bản chứa tang, côtang hoặc h/s lượng giác ở mẫu cần đặt điều kiện
II. Phương trình bậc nhất đối với 1 HSLG:
Dạng: với là 1 hàm số lượng giác. Giải tiếp tìm x
III. Phương trình bậc hai đối với 1 HSLG
Dạng: trong đó u là 1 HSLG
Cách giải: - Tìm u
Giải tiếp tìm x
IV.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 
 Dạng: (1) hoặc (2).
 Điều kiện có nghiệm: phương trình (1) hoặc (2) có nghiệm .
 Cách giải: 
Ta chia các số hạng của 2 vế cho để đưa phương trình đã cho về phương trình cơ bản hoặc với .
* Một số phương trình có cùng cách giải 
	1/ (3) hoặc (4)
	2/ (5).
Phương pháp giải: Chia các số hạng của 2 vế cho đưa phương trình về dạng 
 hoặc .
Công thức cộng cần nhớ: 
V. Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx 
Dạng: (1)
Cách giải: 
+)Xét phương trình khi thay vào phương trình
Nếu đúng thì pt có nghiệm 
Nếu sai thì pt vô nghiệm.
+)Xét , chia cả hai vế của phương trình cho 
. Giải tiếp tìm x
+) Kết luận.
VI.Phương trình đối xứng:
Dạng 1. 
Đặt 
Khi đó 
Dạng 2. 
Đặt 
Khi đó 
Dạng 3. 
Đặt 
Khi đó 
Dạng 4. 
Đặt 
Khi đó