Bài giảng Toán 11 - Chương III, Bài 3: Cấp số cộng - Năm học 2022-2023 - Nguyễn Hà Nam

Ta có : 
Ta có : 
Ta có : 
Dãy số giảm 
Dãy số tăng 
Vậy trên cơ sở nào mà nhà Toán học Gauss có thể tính toán nhanh như vậy ? 
Nhà Toán học Gauss được người đời gọi là“Hoàng tử Toán học”đã có những khám phá đầu tiên khi mới chỉ là một cậu thiếu niên. Nhiều người đã thực sự ngỡ ngàng trước cậu bé Gauss nhỏ tuổi với khả năng tính tổng 100 số chỉ trong vài giây . 
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) 
Ta có : 
Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là -1, 3, 7, 11 .  Từ đó chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó . 
1 
Quy luật : kể từ số thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4. 
Năm số hạng tiếp của dãy theo quy luật đó là: 15 ; 19; 23; 27; 31 
 Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . 
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 
Nếu ( u n ) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi : 
Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi ( tất cả các số hạng đều bằng nhau) 
DOANHTUAN 
Nên theo định nghĩa, dãy số là một cấp số cộng với công sai 
Ta có : 
DOANHTUAN 
Ta có dạng khai triển của cấp số cộng : 
Xây 1 tầng cần 2 que diêm để xếp tầng đế . 
Xây 2 tầng cần 4 que diêm để xếp tầng đế (4 = 2 + 1.2) 
Xây 100 tầng cần 200 que diêm để xếp tầng đế (200 = 2 + 99.2) 
DOANHTUAN 
Xây 3 tầng cần 6 que diêm để xếp tầng đế ( 6 = 2 + 2.2) 
Định lí 1 : Nếu cấp số cộng (u n ) có số hạng đầu u 1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n được xác định bởi công thức : 
DOANHTUAN 
Cấp số cộng có : 
a)Theo công thức (2) , ta có : 
b)Theo công thức (2) , ta có : 
Vì 
DOANHTUAN 
Điểm u 3 là trung điểm của đoạn u 2 u 4 , hay : 
c) Năm số hạng của cấp số cộng là -5, -2, 1, 4, 7 được biểu diễn bởi các điểm u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 tương ứng như hình vẽ 
Ta cũng có kết quả tương tự đối với u 2 và u 4 . 
Định lí 2 : Trong một cấp số cộng , mỗi số hạng ( trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: 
Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng 
-1 
3 
7 
11 
15 
19 
23 
27 
27 23 19 15 11 7 3 -1 
a) Nhận xét : Tổng của các số hạng ở mỗi cột bằng nhau và bằng 26 
b) Tổng các số hạng của cấp số cộng là : 
Cho cấp số cộng gồm 8 số hạng: -1,3,7,11,15,19,23,27  như bảng sau : a) Hãy viết các số hạng của cấp số cộng đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột b) Tính tổng các số hạng của cấp số cộng . 
4 
Định lí 3 : Cho cấp số cộng (u n ) . Đặt  	 Khi đó 
Vì nên công thức (4) có thể viết : 
( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một) 
( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một) 
( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một) 
( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một) 
( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một)