Bài giảng Toán 11 - Chương III, Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Năm học 2022-2023 - Hải An - Trường THPT An Dương

HÌNH HỌC 
Chương 3: QUAN HỆ VUÔNG GÓC 
Tiết 34+35: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
VỚI MẶT PHẲNG 
LỚP 
11 
ĐỊNH NGHĨA 
I 
ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 
II 
TÍNH CHẤT 
III 
LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG 
GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
IV 
PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNGVUÔNG GÓC 
V 
Tháp nghiêng khác biệt, vì không vuông góc với mặt đất. 
Em hãy quan sát ba hình ảnh sau và tìm ra hình ảnh có sự khác biệt nhất? 
 Hình 1 : Tháp Bút Hà Nội	 
 Hình 2 : Tháp Pisa Italia 
Hình 3 : Các cây cờ 
I 
ĐỊNH NGHĨA 
Định nghĩa 
Kí hiệu: 
Ví dụ 1 
Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng . 
Hãy kể tên những đường thẳng vuông góc với đường thẳng trong hình vẽ bên . 
Ta có: 
 , 	 , 	 
I 
ĐỊNH NGHĨA 
Vì , nên đường thẳng vuông góc vớitất cả các đường thẳng nằm trong , bao gồm: 
 , , 
 , , 
 , 
Bài giải 
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng vuông góc với những đường thẳng nào? 
Ví dụ 2 
I I 
ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 
Định lý 
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. 
Tóm tắt định lý bằng kí hiệu: 
M 
Ví dụ 3 
I I 
ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 
Cho hình chóp có , , tam giác vuông tại B. 
 . 
 Chứng minh rằng . 
 Gọi là chân đường cao vẽ từ lên . Chứng minh rằng: 
Bài giải 
Ví dụ 3 
 Chứng minh: 
b. Chứng minh: . 
Vì (chứng minh trên), 
Nên . 
Bài giải 
c. Chứng minh: 
Suy ra (vì ) 
Ta lại có: 
Ví dụ 3 
I I 
ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 
HỆ QUẢ 
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó. 
Nếu d vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì d có vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó không ? . 
I II 
 TÍNH CHẤT 
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước đó . 
1. Tính chất 1 
. O 
d 
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước đó ? . 
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng cho trước? 
I II 
 TÍNH CHẤT 
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước đó . 
1. Tính chất 1 
. O 
d 
Mặt phẳng đi qua trung điểm O của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB 
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng 
I II 
 TÍNH CHẤT 
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước đó . 
1. Tính chất 2 
. O 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
3. 
C 
 . 
D 
B 
Ví dụ 1 
I II 
 TÍNH CHẤT 
Theo tính chất số 1 ta có duy nhất 1 mp qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước. 
Trong không gian cho đường thẳng và điểm . Qua có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với cho trước? 
đường trung trực của đoạn thẳng . 
A 
Ví dụ 2 
I II 
 TÍNH CHẤT 
Trong không gian tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định  và là 
 mặt phẳng vuông góc với tại . 
B 
C 
D 
 mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . 
đường thẳng qua và vuông góc với . 
C 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
3. 
C 
 . 
D 
B 
Ví dụ 3 
I II 
 TÍNH CHẤT 
Theo tính chất số 2 ta có duy nhất 1 đường thẳng qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước. 
Trong không gian cho mặt phẳng và điểm . Qua có mấy đường đi qua và vuông góc với cho trước? 
IV 
Liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song. 
Tính chất 1 
 a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. 
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc 
với một mặt phẳng thì song song với nhau. 
* Tóm tắt tính chất 1 bằng kí hiệu toán học 
a) 
 b) 
Tính chất 1 
1 
IV 
Liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song. 
Tính chất 2 
* Tóm tắt tính chất 2 bằng kí hiệu toán học 
Cho 2 mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. 
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thì song song với nhau. 
a) 
b) 
Tính chất 2 
2 
IV 
Liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song. 
Tính chất 3 
* Tóm tắt tính chất 3 bằng kí hiệu toán học 
a) Cho đường thẳng a và mp song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với thì cũng vuông góc với a. 
b) Nếu 1 đường thẳng và 1 mp (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với 1 đường thẳng thì chúng song song với nhau. 
 a) 
b) 
Tính chất 3 
3 
Bài giải 
Ví dụ 1 
IV 
Liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song. 
Ví dụ 
4 
Mệnh đề có thể sai là 
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. 
Trong các mệnh đề sau m ệnh đề nào sai ? 
B 
A 
C 
D 
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. 
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. 
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song 
Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. 
C 
Bài giải 
Ví dụ 2 
IV 
Liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song. 
Ví dụ 
4 
Theo tính chất 3a thì khẳng định đúng là 
Đường thẳng b vuông góc với thì nó vuông góc với a. 
Trong không gian cho đường thẳng a song song với . Hãy chọn khẳng định đúng? 
B 
A 
C 
D 
Đường thẳng b vuông góc với a thì nó vuông góc với 
Đường thẳng b vuông góc với thì nó vuông góc với a. 
Đường thẳng b cắt a thì nó cắt 
Đường thẳng b song song với thì nó song song với a. 
B 
Bài giải 
Ví dụ 3 
IV 
Liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song. 
Ví dụ 
4 
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. 
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. 
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại. 
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. 
Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng song song đó. 
Do đó đường thẳng đó sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại. 
D 
V 
Phép chiếu vuông góc và định lí ba đ ư ờng vuông góc. 
Phép chiếu vuông góc 
1 
Định nghĩa 
Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng . Phép chiếu song song theo phương của ∆ lên mặt phẳng được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng . 
Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. 
Định lí 
V 
Phép chiếu vuông góc và định lí ba đ ư ờng vuông góc. 
Định lí ba đ ư ờng vuông góc 
2 
Cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng và là đường thẳng không thuộc đồng thời không vuông góc với . 
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . 
Khi đó vuông góc với khi và chỉ khi vuông góc với . 
V 
Phép chiếu vuông góc và định lí ba đ ư ờng vuông góc. 
Góc giữa đ ư ờng thẳng và mặt phẳng 
3 
Định nghĩa 
Cho đường thẳng và mặt phẳng . 
+ Nếu thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 90 0 . 
+ Nếu không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa và hình chiếu của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . 
Ví dụ 1 
 Cho hình chóp với đáy là tam gác ABC vuông tại , biết SA AB và SA AC 
a. Tìm hình chiếu vuông góc của SC lên 
b. Chứng minh 
 a. Ta có 
Bài giải 
 Vậy là hình chiếu 
vuông góc của lên (ABC) 
Ví dụ 2 
 Cho hình chóp có SA vuông với (ABCD), đáy là hình vuông cạnh a, 
a. Tính góc giữa SA và 
b. Tính góc giữa SB và 
c. Tính góc giữa SC và 
 Bài giải 
 b. Ta có 
 a Ta có 
c Ta có 
 ) = 
 là hình chiếu của lên . 
Do 
Vậy . 
V 
Bài tập 2/104 
B 
LUYỆN TẬP 
I 
Cho tứ diện có hai mặt và là hai tam giác cân có chung cạnh đáy . Gọi là trung điểm của cạnh . 
a) Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng . 
Bài giải 
 Ta có là trung điểm của 
( cân) 
Mà 
Vậy . 
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 
Bài tập 2/104 
B 
LUYỆN TẬP 
I 
Cho tứ diện có hai mặt và là hai tam giác cân có chung cạnh đáy . Gọi là trung điểm của cạnh . 
Bài giải 
b) Gọi là đường cao của tam giác , chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng . 
Ta có 
Vậy 
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 
Bài tập 3/104 
B 
LUYỆN TẬP 
I 
Bài giải 
Cho hình chóp có đáy là hình thoi và có . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: 
a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) . 
Ta có 
 là trung điểm của và ( là hình thoi) 
( cân tại S) 
Mà 
Vậy . 
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 
Bài tập 3/104 
B 
LUYỆN TẬP 
I 
Bài giải 
Cho hình chóp có đáy là hình thoi và có . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: 
b) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) 
Ta có ( là hình thoi) 
Vậy 
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 
II 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 1 
B 
C 
D 
A 
Cho hình chóp , có mệnh đề nào sau đây Sai? 
D 
Hướng dẫn 
Ta có . 
Trong tam giác có nên không vuông góc 
II 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 2 
j 
Hướng dẫn 
Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với là 
B 
A 
C 
D 
d vuông góc với hai đường thẳng song song nằm trong 
d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong 
d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong 
d vuông góc với một đường thẳng nằm trong 
C 
Dựa vào điều kiện đường thẳng d vuông góc với ta có đáp án C 
II 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 3 
Hướng dẫn 
B 
A 
C 
D 
D 
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CD là 
mặt phẳng vuông góc với đoạn CD. 
mặt phẳng cắt đoạn thẳng CD. 
mặt phẳng vuông góc với CD tại C. 
mặt phẳng vuông góc với đoạn CD tại trung điểm của CD. 
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mp vuông với đoạn ấy tại trung điểm 
C 
A 
II 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 4 
B 
D 
D 
Góc đ ư ờng thẳng d và mặt phẳng là góc giữa đ ư ờng thẳng d và hình chiếu vuông góc d’ của nó lên mặt phẳng 
Hướng dẫn 
Cho đường thẳng d không nằm trong và không vuông góc với . Khi đó góc tạo bởi đường thẳng d và là 
một góc vuông. 
một góc 
góc tạo bởi d và d’ với d’ 
nằm trong mp . 
góc tạo bởi d và hình chiếu vuông góc của d lên 
II 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 5 
B 
A 
C 
D 
D 
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là Sai ? 
Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia . 
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. 
Một mặt phẳng và một đường thẳng a không thuộc cùng vuông góc với đường thẳng b thì song song với . 
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. 
 Hai đ ư ờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đ ư ờng thẳng có thể song song nhau, chéo nhau, cắt nhau. 
Hướng dẫn 
II 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 6 
Hướng dẫn 
Cho hình chóp có là hình vuông có . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? 
B 
C 
D 
A 
 . 
A 
Ta có nên 
* . 
* , 
* , 
và có 
 . 
và có 
 . 
II 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 7 
Hướng dẫn 
B 
C 
D 
A 
 . 
B 
Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thoi tâm O và , . 
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? 
O= BD 
 Và 
O= BD 
Và 
II 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 8 
Hướng dẫn 
Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây Sai ? 
C 
A 
B 
D 
D 
Vì nên . 
II 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 9 
Hướng dẫn 
C 
A 
B 
D 
A 
Cho hình chóp có là hình vuông cạnh , SA (ABCD), . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây đúng ? 
⟹ 
⟹ BC 
⟹ tan 
II 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 10 
Hướng dẫn 
B 
C 
D 
A 
 . 
D 
 Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh bên vuông góc với đáy; lần lượt là hình chiếu của lên . Khẳng định nào sau đây đúng ? 
 . 
 . 
 . 
⟹ BD