Bài giảng Toán 11 - Chương IV, Bài 2: Giới hạn của hàm số - Năm học 2022-2023 - Lư Hà An - Trường THPT An Dương

BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Tiết 53-54-55-56-57 
3. GIỚI HẠN MỘT BÊN 
2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN 
NỘI DUNG BÀI HỌC 
1. ĐỊNH NGHĨA 
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC 
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 
3. MỘT VÀI QUY TẮC VỀ GIỚI HẠN VÔ CỰC 
2. MỘT VÀI GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT 
1. GIỚI HẠN VÔ CỰC 
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 
ÔN TẬP KIẾN THỨC CŨ 
Hãy chọn phương án đúng nhất trong các câu sau : 
Câu 1: bằng : 
A. -3 	B. + 	C. 2	D. - 
Câu 2: bằng : 
A. -3 	B. - 	C. 1	D. + 
Câu 3: bằng : 
A. +∞ 	B. 0	C. -∞	D. -2 
0,9603 
0,9702 
0,980 
0,99 
1,9206 
1,9404 
1,9602 
1,98 
Khi đó ta nói hàm số có giới hạn là 2 khi x dần tới 1 
Giới hạn hữu hạn 
Tại một điểm 
1,0098 
1,0197 
1,0296 
1,0395 
1,0494 
2,0196 
2,0394 
2,0592 
2,079 
2,0988 
0,9999 
1,9998 
x 
f(x) 
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 
1. Định nghĩa 
Cho khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên hoặc trên 
Ta nói hàm số có giới hạn là số khi dần tới nếu với mọi dãy số bất kì, và , ta có 
Kí hiệu: hay khi 
Ví dụ 1: 
Cho hàm số . Chứng minh rằng: 
ĐN 1 
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 
1. Định nghĩa 
Ví dụ 1: 
Cho hàm số . Chứng minh rằng: 
Lời giải : 
Hàm số xác định trên 
Giả sử là một dãy số bất kì thỏa và khi 
Ta có: 
Vậy 
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 
1. Định nghĩa 
, với c là hằng số. 
Nhận xét: 
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 
1. Định nghĩa 
2. Định lí về giới hạn hữu hạn 
Định lí 1: 
Giả sử và Khi đó 
(nếu ) 
Nếu và thì và 
(Dấu của được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với ) 
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 
1. Định nghĩa 
2. Định lí về giới hạn hữu hạn 
Định lí 1: 
Ví dụ 2: 
Tính các giới hạn sau: 
a) 
b) 
c) 
Giải vd2a : 
Giải vd2b : 
Giải vd2c : 
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 
1. Định nghĩa 
2. Định lí về giới hạn hữu hạn 
Định lí 1: 
BTTL: 
Tính các giới hạn sau: 
a) 
b) 
c) 
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 
3. Giới hạn một bên 
Định nghĩa 2 
● Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng ( x o ; b ). 
số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x x 0 nếu với dãy số ( x n ) bất kì, x 0 < x n <b và x n x 0 , ta có f(x n ) L . 
Kí hiệu: 
● Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng ( a ; x o ). 
số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x x 0 nếu với dãy số ( x n ) bất kì, a <x n < x 0 và x n x 0 , ta có f(x n ) L . 
Kí hiệu: 
x 0 
b 
x 
x 0 
a 
x 
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 
1. Định nghĩa 
2. Định lí về giới hạn hữu hạn 
3. Giới hạn một bên 
Định lí 2 
khi và chỉ khi 
Nếu hoặc một trong hai giới hạn trái hoặc phải không tồn tại thì cũng không tồn tại 
x 0 
b 
a 
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 
1. Định nghĩa 
2. Định lí về giới hạn hữu hạn 
3. Giới hạn một bên 
Ví dụ 3: 
Cho hàm số 
Tìm và (nếu có) 
Giải : 
Ta có: 
Ta thấy 
Vậy nên không tồn tại 
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 
1. Định nghĩa 
2. Định lí về giới hạn hữu hạn 
3. Giới hạn một bên 
Ví dụ 4: 
Cho hàm số 
Tìm để tồn tại giới hạn của hàm số khi 
Giải : 
Ta có: 
Để tồn tại thì ta phải có 
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 
Thay vào 
để kiểm tra 
không chứa căn 
chứa căn 
Phân tích thành nhân tử, rút gọn khử dạng vô định 
Dùng liên hợp, rút gọn khử dạng vô định 
(Giới hạn một bên thường sử dụng cho hàm số nhánh) 
 Một số giới hạn cần nhớ: 
 Một số lượng liên hợp: 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 1: Tính 
A. 
B. 
C. 
D. 
Đáp án: 
B 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 2: Tính 
A. 
B. 
C. 
D. 
Đáp án: 
C 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 3: Tính 
A. 
B. 
C. 
D. 
Đáp án: 
A 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 4: Tính 
A. 
B. 
C. 
D. 
Đáp án: 
B 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 5: Cho hàm số 
A. 
B. 
C. 
D. 
Đáp án: 
B 
Để hàm số có giới hạn khi thì giá trị của bằng 
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC 
Định nghĩa 3 
a) Cho hàm số xác định trên khoảng . 
Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có 
Kí hiệu: hay khi 
b) Cho hàm số xác định trên khoảng . 
Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có 
Kí hiệu: hay khi 
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 
1. Giới hạn vô cực 
Định Nghĩa 4 
Cho hàm số xác định trên khoảng . 
Kí hiệu: hay khi 
Ta nói hàm số có giới hạn là khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có 
Nhận xét 
Chú ý 
a) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: 
b) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi 
 vẫn còn đúng khi hoặc 
Ta có: 
Ví dụ 4: a) Tìm . 
Ví dụ 4: b) Tìm 
Ta có: 
(Chia cả tử và mẫu cho x 3 ) 
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 
1. Giới hạn vô cực 
Định Nghĩa 4 
Cho hàm số xác định trên khoảng . 
Kí hiệu: hay khi 
Ta nói hàm số có giới hạn là khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có 
Nhận xét 
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 
2. Một vài giới hạn đặc biệt 
a) với k nguyên dương 
b) nếu k là số lẻ 
c) nếu k là số chẵn 
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực 
L > 0 
+ ∞ 
+ ∞ 
- ∞ 
- ∞ 
L < 0 
+ ∞ 
- ∞ 
- ∞ 
+ ∞ 
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích 
Nếu và (hoặc ) thì 
Ví dụ 3: a) Tìm 
Ta có: 
Vậy: 
Ví dụ 3: b) Tìm 
Ta có: 
Vậy: 
Dấu của g(x) 
L 
± ∞ 
Tùy ý 
0 
L > 0 
0 
+ 
+ ∞ 
- 
- ∞ 
L < 0 
+ 
- ∞ 
- 
+ ∞ 
* Chú ý: các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp : 
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương 
Dấu của xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với 
a) ta có: , x – 1 > 0 với mọi x > 1 và 
b) ta có: , x – 1 < 0 với mọi x < 1 và 
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau: 
a) ta có: , x – 1 > 0 với mọi x > 1 và 
b) ta có: , x – 1 < 0 với mọi x < 1 và 
Ví dụ 5: Tìm các giới hạn sau: 
Bài tập trắc nghiệm 
Hãy chọn phương án đúng nhất trong các câu sau : 
A. 2	B. -2 	C. 1 	D. -3 
Câu 1: bằng: 
Câu 3: bằng: 
A. 0 	B. 2 	C. 1	D. 3 
Câu 2: bằng : 
A. +∞ 	B. 0	C. -∞	D. -1 
BÀI TẬP LUYỆN THÊM 
1. Tìm các giới hạn sau: 
2. Xác định a để hàm số f(x) có giới hạn tại x = 2