Chuyên đề dạy đội tuyển Học sinh giỏi Đại số Lớp 11 - Chủ đề: Tổ hợp. Xác suất - Năm học 2021-2022

CHUYÊN ĐỀ: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
DẠNG 1; BÀI TOÁN BỐC BI
A. CƠ BẢN
Bài 1. Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ.
Lời giải
	Không gian mẫu là chọn tùy ý người từ người.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ. Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
	●	Trường hợp 1. Chọn 3 nữ và 1 nam, có cách.
	●	Trường hợp 2. Chọn cả 4 nữ, có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính .
Bài 2. Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố là:
	● 	Trường hợp 1. Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nên có cách.
	● 	Trường hợp 2. Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nên có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính .
Bài 3. Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bị, tính xác suất để 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa 12 viên bi.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố là:
	●	Trường hợp 1. Chọn 1 bi đỏ và 3 bi xanh nên có cách.
	●	Trường hợp 2. Chọn 2 bi đỏ và 2 bi xanh nên có cách.
	●	Trường hợp 3. Chọn 3 bi đỏ và 1 bi xanh nên có cách.
	●	Trường hợp 4. Chọn 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh nên có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính .
Bài 4. Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa gồm 21 hoa.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố là:
	● 	Trường hợp 1. Chọn 1 hoa hồng, 1 hoa ly và 5 hoa huệ nên có cách.
	● 	Trường hợp 2. Chọn 2 hoa hồng, 2 hoa ly và 3 hoa huệ nên có cách.
	● 	Trường hợp 3. Chọn 3 hoa hồng, 3 hoa ly và 1 hoa huệ nên có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 5. Có học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối có học sinh nam và học sinh nữ, khối có học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối và khối .
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối và khối . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố là:
	●	Trường hợp 1. Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có cách.
	●	Trường hợp 2. Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có cách.
	●	Trường hợp 3. Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 6. Có 5 hộp bánh, mỗi hộp đựng 8 cái bánh gồm 5 cái bánh mặn và 3 bánh ngọt. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bánh. Tính xác suất sao cho trong năm lần lấy ra có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt.
Lời giải
	Không gian mẫu là năm lần lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 cái bánh.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố Trong năm lần lấy ra có bốn lần lấy được bánh mặn và một lần lấy được bánh ngọt. Ta mô tả không gian của biến cố như sau:
	●	Giai đoạn thứ nhất. Chọn hộp bánh từ hộp bánh, có cách. Sau đó mỗi hộp chọn ra bánh mặn, có cách. Do đó có tất cả cách cho giai đoạn này.
	●	Giai đoạn thứ hai. Hộp còn lại duy nhất chọn ra 2 bánh ngọt nên có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 7. Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu. Để tìm số phần tử của , ta đi tìm số phần tử của biến cố , với biến cố là lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính .
Bài tập tương tự. Một thùng sách có 5 quyển sách Toán, 7 quyển sách Vật Lí và 4 quyển sách Hóa. Chọn ngẫu nhiên 3 cuốn sách, tính xác suất để 3 cuốn sách được chọn không cùng một loại.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 cuốn sách trong thùng gồm 16 cuốn sách.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 3 cuốn sách lấy ra không cùng một loại. Để tìm số phần tử của , ta đi tìm số phần tử của biến cố , với biến cố là 3 cuốn sách lấy ra cùng một loại.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính .
Bài 8. Nhân dịp khách sạn kỷ niệm ngày thành lập, ban quản lý khách sạn thực hiện khuyến mãi như sau: Mỗi đoàn du lịch đến nghỉ ở khách sạn đều chọn ngẫu nhiên hai người để tặng thưởng. Có hai đoàn du lịch cùng đến khách sạn, đoàn thứ nhất có 6 người Việt Nam và 12 người Pháp; Đoàn thứ hai có 3 người Việt Nam, 7 người Nga và 2 người Anh. Tính xác suất để cả hai đoàn có ít nhất 2 người nhận thưởng đều là người Việt Nam.
Lời giải
	Không gian mẫu là số sách chọn ngẫu nhiên mỗi đoàn ra 2 người để tặng thưởng.
	Số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố Cả hai đoàn có ít nhất 2 người nhận thưởng đều là người Việt Nam. Để tìm số phần tử của biến cố ta đi tìm số phần tử của biến cố là cả hai đoàn có nhiều nhất 1 người Việt Nam nhận thưởng. Có 3 trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
	●	Trường hợp 1. Đoàn thứ I chỉ có 1 người Việt được nhận thưởng, đoàn thứ II không có người Việt nào được nhận thưởng. Suy ra có cách. 
	●	Trường hợp 2. Đoàn thứ II chỉ có 1 người Việt được nhận thưởng, đoàn thứ I không có người Việt nào được nhận thưởng. Suy ra có cách.
	●	Trường hợp 3. Cả hai đoàn không có người Việt nào được nhận thưởng, có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 9. Hộp có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
Lời giải
	Không gian mẫu là số sách chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi.
	Số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố viên bi lấy ra từ mỗi hộp có cùng màu. Ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố như sau:
	●	Hộp lấy ra 1 bi trắng và hộp lấy ra 1 bi trắng, có cách.
	●	Hộp lấy ra 1 bi đỏ và hộp lấy ra 1 bi đỏ, có cách.
	●	Hộp lấy ra 1 bi xanh và hộp lấy ra 1 bi xanh, có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài tập tương tự. Tổ I có 5 học sinh nam, 6 học sinh nữ. Tổ II có 7 học sinh nữ, 4 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ 2 học sinh để được 4 học sinh. Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có đúng 1 học sinh nữ.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên mỗi tổ ra 2 học sinh.
	Số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi biến cố 4 học sinh được chọn có đúng 1 học sinh nữ. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
	●	Trường hợp 1. Tổ I chọn được 2 nam và tổ II chọn được 1 nam và 1 nữ.
	Do đó trường hợp này có cách.
	●	Trường hợp 2. Tổ I chọn được 1 nam và 1 nữ và tổ II chọn được 2 nam.
	Do đó trường hợp này có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 10. Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu.
Lời giải
	Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi biến cố 2 quả cầu được lấy cùng màu. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
	●	Trường hợp 1. Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.
	Do đó trường hợp này có cách.
	●	Trường hợp 2. Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.
	Do đó trường hợp này có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
B – NAÂNG CAO
Bài 11. Một tổ có 12 học sinh gồm có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ, trong đó An là tổ trưởng còn Hoa là tổ phó. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong tổ để tham gia hoạt động tập thể của trường nhân dịp ngày thành lập Đoàn 26 tháng 3. Tính xác suất để sao cho nhóm học sinh được chọn có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ trong đó phải nhất thiết có bạn An hoặc bạn Hoa nhưng không có cả hai (An là học sinh nam, Hoa là học sinh nữ).
Lời giải
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ 12 học sinh.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 5 học sinh được chọn có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ trong đó phải nhất thiết có bạn An hoặc bạn Hoa nhưng không có cả hai. Ta mô tả các trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
	●	Trường hợp 1. Có bạn An.
	Chọn thêm 2 học sinh nam từ 6 học sinh nam, có cách.
	Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ (không chọn Hoa), có cách.
	Do đó trường hợp này có cách.
	●	Trường hợp 2. Có bạn Hoa.
	Chọn thêm 1 học sinh nữ từ 4 học sinh nam, có cách.
	Chọn 3 học sinh nam từ 6 học sinh nam (không chọn An), có cách.
	Do đó trường hợp này có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là 
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 12. Để chuẩn bị kỷ niệm 50 năm thành lập trường THPT, nhà trường thành lập hai tổ học sinh để đón tiếp các vị đại biểu. Tổ một gồm 3 học sinh lớp và 2 học sinh lớp ; tổ hai gồm 3 học sinh lớp và 4 học sinh lớp . Chọn ngẫu nhiên từ mỗi tổ ra 2 học sinh, tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có đủ học sinh của ba lớp.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên mỗi tổ ra 2 học sinh.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 4 học sinh được chọn có đủ ba lớp. Ta mô tả các trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
	●	Trường hợp 1. Tổ một chọn 1 học sinh lớp , 1 học sinh lớp .
	Tổ hai chọn 1 học sinh lớp , 1 học sinh lớp .
	Do đó trường hợp này có cách.
	●	Trường hợp 2. Tổ một chọn 1 học sinh lớp , 1 học sinh lớp .
	Tổ hai chọn 2 học sinh lớp .
	Do đó trường hợp này có cách.
	●	Trường hợp 3. Tổ một chọn 2 học sinh lớp .
	Tổ hai chọn 1 học sinh lớp , 1 học sinh lớp .
	Do đó trường hợp này có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là 
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 13. Hộp bi thứ nhất có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 5 viên bi xanh. Hộp bi thứ hai có 2 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng và 7 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 2 viên bi, tính xác suất sao cho 4 viên bi được chọn luôn có bi đỏ nhưng không có bi xanh.
Lời giải
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 2 viên bi.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 4 viên bi được chọn luôn có bi đỏ nhưng không có bi xanh. Ta liệt kê các trường hợp thuận lợi của không gian biến cố như sau:
	●	Trường hợp 1. Chọn hộp thứ nhất 2 viên bi đỏ, có cách.
	Chọn hộp thứ hai 2 viên bi từ 8 viên bi (2 đỏ và 6 vàng), có cách.
	Do đó trường hợp này có cách.
	●	Trường hợp 2. Chọn hộp thứ nhất 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng, có cách.
	Chọn hộp thứ hai 2 viên bi từ 8 viên bi (2 đỏ và 6 vàng), có cách.
	Do đó trường hợp này có cách.
	●	Trường hợp 3. Chọn hộp thứ nhất 2 viên bi vàng, có cách.
Chọn hộp thứ hai 2 viên bi đỏ hoặc 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng, có cách.
	Do đó trường hợp này có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là 
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 14. Một lớp học có 46 học sinh trong đó có 27 nam và 19 nữ. Đầu giờ truy bài cán bộ phụ trách lớp kiểm tra và thống kê được rằng có 7 nam và 4 nữ không chuẩn bị bài tập về nhà, trong đó có Mai (nữ) và Bình (nam). Vào tiết học cô giáo gọi ngẫu nhiên 2 nam và 2 nữ lên bảng để kiểm tra bài tập về nhà. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi lên bảng đều không chuẩn bị bài tập về nhà, trong đó có Bình và Mai.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách gọi ngẫu nhiên 2 nam, 2 nữ từ 46 học sinh.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 4 học sinh (2 nam, 2 nữ) được gọi lên đều không chuẩn bị bài tập về nhà, trong đó có Bình và Mai. Ta mô tả khả năng thuận lợi cho biến cố như sau:
	● 	Gọi Bình và Mai lên bảng, có 1 cách.
	● 	Tiếp theo gọi 1 bạn nam từ 6 bạn không làm bài tập về nhà còn lại và 1 bạn nữ từ 3 bạn không làm bài tập về nhà còn lại, có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính .
Bài 15. Một hộp chứa 3 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đen. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi, tính xác suất để 4 viên bi được chọn không nhiều hơn ba màu và luôn có bi màu xanh.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa 21 viên bi.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 4 viên bi được chọn không nhiều hơn ba màu và luôn có bi màu xanh. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
	●	Trường hợp 1. Chọn 3 viên bi màu xanh, có cách.
	Chọn thêm 1 viên bi trong 18 viên bi (5 đỏ, 6 trắng, 7 đen), có cách.
	Do đó trường hợp này có cách.
	●	Trường hợp 2. Chọn 2 viên bi màu xanh, có cách.
	Chọn thêm 2 viên bi trong 18 viên bi (5 đỏ, 6 trắng, 7 đen), có cách.
	Do đó trường hợp này có cách.
	●	Trường hợp 3. Chọn 1 viên bi màu xanh, có cách.
Chọn thêm 3 viên bi trong 18 viên bi (5 đỏ, 6 trắng, 7 đen) nhưng không đủ cả ba màu (đỏ, trắng, đen), có cách.
	Do đó trường hợp này có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 16. Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số.
Lời giải
	Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số.
	● 	Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh).
	● 	Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là cách.
	● 	Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính .
Bài 17. Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu. Để tìm số phần tử của biến cố ta đi tìm số phần tử của biến cố tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau:
	●	Trường hợp 1. Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng).
	Do đó trường hợp này có cách.
	●	Trường hợp 2. Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có cách.
	Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có cách.
	Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có cách.
	Do đó trường hợp này có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 18. Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp, tính xác suất để tổng ba số trên 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 50 viên bi.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3. Trong 50 viên bi được chia thành ba loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho 3 dư 1 và 17 viên bi còn lại có số chia cho 3 dư 2. Để tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố , ta xét các trường hợp
	●	Trường hợp 1. 3 viên bi được chọn cùng một loại, có cách.
	●	Trường hợp 2. 3 viên bi được chọn có mỗi viên mỗi loại, có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 19. Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Vậy Lí và 3 cuốn sách Hóa Học. Thầy giáo muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 trong 10 cuốn sách rồi tặng cho 5 học sinh.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố Sau khi tặng sách thì mỗi một trong ba loại sách của thầy giáo còn lại ít nhất một cuốn. Để tìm số phần tử của , ta tìm số phần tử của biến cố , tức sau khi tặng sách có môn không còn lại cuốn nào. Vì tổng số sách của hai loại bất kỳ lớn hơn 5 cuốn nên không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách. Do vậy chỉ có thể một môn hết sách, ta có các khả năng:
	 	Cách tặng sao cho không còn sách Toán, tức là ta tặng 4 cuốn sách toán, 1 cuốn còn lại Lý hoặc Hóa
	+) 	4 cuốn sách Toán tặng cho 4 người trong 5 người, có cách.
	+)	1 người còn lại được tặng 1 cuốn trong 6 cuốn (Lý và Hóa), có .
	Suy ra có cách tặng sao cho không còn sách Toán.
	 	Tương tự, có cách tặng sao cho không còn sách Lý.
	Tương tự, có cách tặng sao cho không còn sách Hóa.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính .
Bài 20. Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh và 7 viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để được 6 viên bi có cả ba màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố 6 viên bi được chọn có cả ba màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.
	Gọi lần lượt là số bi đỏ, bi xanh và bi trắng được lấy. Suy ra 
	+)	Hiệu của số bi xanh và bi đỏ là .
	+)	Hiệu của số bi trắng và bi xanh là .
	+)	Hiệu của số bi đỏ và bi trắng là .
	Theo giả thiết, ta có .
	Do đó biến cố được phát biểu lại như sau 6 viên bi được chọn có cả ba màu đồng thời số bi xanh bằng số bi trắng. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
	● 	Trường hợp 1. Chọn 2 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng.
	Do đó trường hợp này có cách.
	● 	Trường hợp 2. Chọn 4 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh và 1 viên bi trắng.
	Do đó trường hợp này có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính .
DẠNG 2: BÀI TOÁN BỐC SỐ
A – CƠ BẢN
Bài 1. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.
Lời giải
	Gọi số cần tìm của tập có dạng . Trong đó .
	Khi đó 
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn vì và .
	Do đó tập có phần tử.
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. Khi đó ta có các bộ số là hoặc thỏa mãn biến cố và cứ mỗi bộ thì có cách chọn nên có tất cả số thỏa yêu cầu.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 2. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
Lời giải
	Số phần tử của tập là 
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 
	Gọi là biến cố Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
	●	Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số là cách.
	●	Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số là cách.
	●	Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một hoán vị của phần tử nên có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là 
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 3. Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác xuất để số được chọn chia hết cho .
Lời giải
	Số phần tử của là .
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 
	Gọi là biến cố Số được chọn chia hết cho . Từ chữ số đã cho ta có bộ gồm ba chữ số có tổng chia hết cho là , , và . Mỗi bộ ba chữ số này ta lập được số thuộc tập hợp .
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 4. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác xuất để số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho .
Lời giải
	Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó 
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
	● 	Số cách chọn thứ tự cho trong tập có cách.
	Do đó tập có phần tử.
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 
	Gọi là biến cố Số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho . Suy ra và . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
	●	Trường hợp 1. Với : chữ số có cách chọn, có cách chọn, ba chữ số còn lại có cách chọn. Do đó trong tường hợp này có số . 
	●	Trường hợp 2. Với : chữ số có cách chọn, có cách chọn, ba chữ số còn lại có cách chọn. Do đó trong tường hợp này có số .
	Suy ra số phần tử của biến cố là 
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 5. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn là số có tổng các chữ số là một số lẻ.
Lời giải
	Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó 
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
	● 	Số cách chọn thứ tự cho trong tập có cách.
	Do đó tập có phần tử.
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 
	Gọi là biến cố Số được chọn có tổng các chữ số là một số lẻ. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
	●	Trường hợp 1. Gồm một chữ số lẻ và hai chữ số chẵn.
Chọn một chữ số lẻ trong chữ số lẻ nên có cách, chọn hai chữ số chẵn trong chữ số chẵn có . Do đó có tất cả số thỏa mãn biến cố bao gồm chữ số đứng đầu.
Bây giờ ta tính riêng số các chữ số thỏa mãn biến cố nhưng có số đứng đầu, suy ra số đó có dạng . Chọn một chữ số lẻ trong chữ số lẻ nên có cách, chọn thêm một chữ số chẵn trong chữ số chẵn còn lại có cách. Do đó có số.
	Suy ra trong trường hợp này có số.
	●	Trường hợp 2. Gồm ba chữ số lẻ.
Chọn ba chữ số lẻ trong chữ số lẻ nên có cách.
	Suy ra trong trường hợp này có số.
	Suy ra số phần tử của biến cố là 
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 6. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng .
Lời giải
	Ta tính số phần tử thuộc tập như sau:
	● 	Số các số thuộc có chữ số là .
	● 	Số các số thuộc có chữ số là .
	● 	Số các số thuộc có chữ số là .
	Suy ra số phần tử của tập là .
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố Số được chọn có tổng các chữ số bằng . Các tập con của có tổng số phần tử bằng là , , .
	● 	Từ lập được các số thuộc là .
	● 	Từ lập được các số thuộc là .
	● 	Từ lập được các số thuộc là .
	Suy ra số phần tử của biến cố là 
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 7. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên số bất kì trong tập , tính xác suất để trong số được lấy ra có đúng số có chữ số .
Lời giải
	Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó 
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
	● 	Số cách chọn thứ tự cho trong tập có cách.
	Do đó tập có phần tử.
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 
	Gọi là biến cố số được lấy ra có đúng số có chữ số . Để tìm số phần tử của biến cố ta làm như sau:
	●	Lập luận tương tự như trên ta được trong có số không có chữ số . Suy ra có số có chữ số .
	● 	Số cách lấy số luôn có chữ số là cách.
	● 	Số cách lấy số không có chữ số là cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là 
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 8. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số lẻ có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập , tính xác suất để lấy được một số nhỏ hơn .
Lời giải
	Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó 
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn.
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn.
	● 	Số cách chọn thứ tự trong tập có cách.
	Do đó tập có phần tử.
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 
	Gọi là biến cố Số được chọn nhỏ hơn . Có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố là chữ số hoặc .
	● 	Nếu thì chỉ có số duy nhất là số .
	● 	Nếu thì số đó có dạng 
	Chọn có cách chọn.
	Chọn thứ tự trong tập có cách.
	Suy ra số các số thuộc dạng có số.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 9. Một hộp đựng chiếc thẻ được đánh số từ đến . Lấy ngẫu nhiên ra chiếc thẻ, tính xác suất để chữ số trên chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho .
Lời giải
	Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên chiếc thẻ từ chiếc thẻ.
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố chữ số trên chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho . Để cho biến cố xảy ra thì trong thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ số hoặc chữ số . Ta đi tìm số phần tử của biến cố , tức thẻ lấy ra không có thẻ mang chữ số và cũng không có thẻ mang chữ số là cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 10. Có tấm thẻ được đánh số từ đến . Chọn ngẫu nhiên ra tấm thẻ, tính xác suất để có tấm thẻ mang số lẻ, tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho .
Lời giải
	Không gian mẫu là cách chọn tấm thể trong tấm thẻ.
	Suy ra số phần tử của không mẫu là .
	Gọi là biến cố tấm thẻ mang số lẻ, tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho . Để tìm số phần tử của ta làm như sau: 
	●	Đầu tiên chọn tấm thẻ trong tấm thẻ mang số lẻ, có cách.
	●	Tiếp theo chọn tấm thẻ trong tấm thẻ mang số chẵn (không chia hết cho ), có cách.
	●	Sau cùng ta chọn trong tấm thẻ mang số chia hết cho , có cách.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính .
B – NÂNG CAO
Bài 11. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số chẵn có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn có tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng nghìn bằng 5.
Lời giải
	Gọi số cần tìm của tập có dạng .
	●	Trường hợp 1. Nếu thì có 1 cách chọn.
	Số cách chọn chữ số có 6 cách chọn.
	Chọn thứ tự cho trong tập có cách chọn.
	Do đó trường hợp này có số.
	●	Trường hợp 2. Nếu thì có 3 cách chọn.
	Số cách chọn chữ số có 5 cách chọn vì và .
	Chọn thứ tự cho trong tập có cách chọn.
	Do đó trường hợp này có số.
	Suy ra tập có phần tử.
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
	Gọi là biến cố Số được chọn có tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng nghìn bằng 5. Để , suy ra .
	●	Trường hợp 1. Nếu 
	+) 	Có 2 cách chọn .
	+) 	 chẵn nên có 3 cách chọn chữ số .
	+)	Có cách chọn .
	Suy ra có số thỏa mãn.
	●	Trường hợp 2. Nếu 
	+) 	Có 2 cách chọn .
	+) 	Với thì có cách chọn . Với thì có 2 cách chọn chữ số , có 3 cách chọn chữ số và 3 cách chọn chữ số .
	Suy ra có số thỏa mãn.
	●	Trường hợp 3. Nếu thì tương tự như trường hợp 2 có 60 số thỏa mãn.
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 12. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên hai số từ , tính xác suất để mỗi số được chọn có tổng các chữ số bằng .
Lời giải
	Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó 
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
	● 	Số cách chọn chữ số có cách chọn vì và .
	Do đó tập có phần tử.
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 
	Gọi là biến cố Hai số được chọn mà mỗi số có tổng các chữ số bằng . Ta có các bộ chữ số có tổng các chữ số bằng 7 gồm: .
	●	Mỗi bộ trong các bộ có số cách lập là số.
	●	Bộ có số cách lập là số.
	Do đó có tất cả số có tổng ba chữ số bằng .
	Suy ra số phần tử của biến cố là .
	Vậy xác suất cần tính 
Bài 13. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn thỏa mãn tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng .	
Lời giải
	Số phần tử của tập là .
	Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
	Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 
	Gọi là biến cố Số được chọn thỏa mãn tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng . Gọi số được chọn có dạng .
	Theo gi