Đề cương ôn tập môn Toán khối 11

ĐỀ CƯƠNG KHỐI 11 AMS
(Đề gồm X trang) 
MÔN: TOÁN
Họ và tên:	SBD:	
PHẦN I. BÀI TẬP TỰ LUẬN
A. LƯỢNG GIÁC
Bài 1. 	Giải các phương trình:
	a) .	b) .
	c) .	d) . 
	e) .	f) .
g) 	h) 
Bài 2.	Tìm để phương trình có đúng một nghiệm thuộc .
Bài 3 .	Tìm để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc 
Bài 4.	Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) .	b) .	
c) .	d) .
Bài 5. 	Chứng minh rằng với mọi số thực ta đều có .
Bài 6.	 Nhận dạng tam giác biết .
B. TỔ HỢP. XÁC SUẤT
Bài 1. 	Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau và 
	bé hơn .
Bài 3. a. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển .
b. Tìm số hạng không chứa trong khai triển với .
Bài 4. 	Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức New-Tơn của biểu thức biết 
 .
Bài 5. Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Newton biết rằng . 
Bài 6. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton . Biết rằng . 
Bài 7. 	Có đề thi trong đó có đề thi khó và đề thi trung bình. Tìm xác suất để một học sinh bốc ra đồng thời hai đề thi được ít nhất một đề trung bình. 
Bài 8. 	Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập ra tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau. 
	a) Trong các số lập ra có bao nhiêu số chẵn.
	b) Chọn ngẫu nhiên một số trong các số lập ra. Tìm xác suất để chọn được số có mặt các chữ số 1; 2 và 1 đứng trước 2. 
Bài 9. 	Gieo một con xúc xắc bốn lần độc lập. Tính xác suất để
	a) Không có lần nào xuất hiện mặt chẵn.
	b) Mặt chẵn xuất hiện đúng một lần.
	c) Mặt chẵn xuất hiện ít nhất một lần. 
Bài 10. Một hộp chứa quả cầu trắng và quả cầu đỏ, các quả cầu chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên quả cầu.
	a) Có bao nhiêu cách lấy đúng quả cầu đỏ?
	b) Tìm xác suất để lấy được ít nhất quả cầu đỏ.
C. PHÉP NIẾN HÌNH
Bài 1. 	Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn có tâm , bán kính và đường thẳng có phương trình: . Viết phương trình đường tròn và phương trình đường thẳng lần lượt là ảnh của đường tròn và đường thẳng qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Bài 2. 	Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác với , , . Gọi là trọng tâm của tam giác và phép tịnh tiến theo vectơ biến thành . Tìm .
Bài 3. 	Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm , ; đường thẳng ; đường tròn . Gọi , lần lượt là ảnh của , qua phép đối xứng tâm . Gọi là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ .
	a) Tìm tọa độ của điểm , phương trình của và .
	b) Tìm phương trình đường tròn là ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số .
Bài 4. 	Trong mặt phẳng tọa độ , cho và đường thẳng . Viết phương trình
 đường thẳng là ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số .
Bài 5. 	Cho hai điểm , cố định và hình bình hành có di dộng trên một đường tròn . Gọi là điểm trên sao cho là trung điểm của . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh di động trên một đường cố định.
D. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1. 	Cho hình chóp có đáy là hình thang, đáy lớn là . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng song song với mặt phẳng . Xác định giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng .
b) Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng .
c) Biết rằng và là giao điểm của và mặt phẳng . Gọi là giao điểm của các cặp và , và . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng và .
Bài 2.	Cho hình chóp có đáy là hình thang . Gọi lần lượt là trung điểm của .
	a) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .
	b) Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng qua và song song với . Thiết diện là hình gì ?
	c) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng .
Bài 3. 	Cho hình chóp . là hai điểm trên , mặt phẳng là mặt phẳng qua và song song với . lần lượt là trọng tâm tam giác và tam giác .
	a) Chứng minh rằng: // .
	b) Tìm giao tuyến của với và . Xác định thiết diện của hình chóp với .
	c) Tìm điều kiện của để thiết diện là hình thang.
Bài 4. 	Cho hình chóp có đáy là một hình bình hành. Gọi , lần lượt là trung điểm của , và là một điểm thuộc đoạn sao cho . 
	a) Chứng mình rằng song song với mặt phẳng .
	b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
	c) Tìm giao điểm của với mặt phẳng . Mặt phẳng cắt hình chóp theo một thiết diện là hình gì?
	d) Gọi là giao điểm của và . CMR: ba đường thẳng , và đồng qui tại một điểm. 
Bài 5. 	Cho hình chóp có và không song song. Gọi theo thứ tự là trung điểm của các cạnh và .
	a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
	b) Chứng minh song song với .
	c) Tìm giao điểm của đường thẳng với .
HƯỚNG DẪN GIẢI
PHẦN I. BÀI TẬP TỰ LUẬN
A. LƯỢNG GIÁC
Bài 1. 	Giải các phương trình:
	a) .	b) .
	c) .	d) . 
	e) .	f) .
g) 	h) 
Lời giải
a) .	
	.
	b) .
	c) .
	.
	d) . 
Điều kiện: .
Khi đó, phương trình đã cho tương đương
 (thỏa điều kiện)
, 
, . 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: hoặc , .
	e) .
, 
, .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: , .
	f) .
 , .
	Vậy phương trình đã cho có nghiệm: hoặc hoặc .
g) 	
Điều kiện xác định của phương trình là:
, . 
Khi đó,
+ Nếu thì . Khi đó, trở thành (vô lí).
+ Nếu , , chia 2 vế của phương trình cho ta được:
, 
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: hoặc , .
h) 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: hoặc ,.
Bài 2.	Tìm để phương trình có đúng một nghiệm thuộc .
Lời giải
Ta có 
	Với . Dễ thấy họ nghiệm này không có nghiệm nào thuộc 
Do đó phải cho ra đúng một nghiệm thuộc
Vì nên 
Vậy .
Bài 3 .	Tìm để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc 
Lời giải
Ta biến đổi 
. Ta có hai nghiệm thuộclà 
Để phương trình ban đầu có đúng hai nghiệm thuộcthì phương trình (*) vô nghiệm hoặc (*) có nghiệm 
Tức là ta có: 
+TH1: (*) vô nghiệm .
+TH2: (*) có nghiệm 
Thử lại, với thì (*).
Dễ thấy 4 họ lượng giác này chỉ cho được 2 nghiệm thuộc . Vậy nhận giá trị .
Kết luận: 
Bài 4.	Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) .	b) .	
c) .	d) .
Lời giải
a)(1)
Ta có . Tập xác định 
Giả sử là một giá trị hàm số, khi đó tồn tại sao cho:
.
.
Phương trình có nghiệm khi: 
.
.
.	
Vậy:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , khi 
(với ).
Giá trị lớn nhất của hàm số là , khi .
b)
Tập xác định .
Ÿ Đặt , ta có:
.
Ÿ Hàm số trở thành .
.
Đặt suy ra .
Hàm số trở thành .
Ta có bảng biến thiên:
Vậy:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Giá trị lớn nhất của hàm số là .
c) .
Tập xác định .
Ta có: 
.
Vậy
Giá trị lớn nhất của hàm số là khi:
.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là khi:
d) .
Tập xác định .
.
(với ).
.
Vậy
Giá trị lớn nhất của hàm số là khi:
.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là khi:
Bài 5. 	Chứng minh rằng với mọi số thực ta đều có .
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số không âm , , , và , ta có
 (đpcm).
Bài 6.	 Nhận dạng tam giác biết .
Lời giải
.
Vậy tam giác cân tại C.
B. TỔ HỢP. XÁC SUẤT
Bài 1. 	Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau và 
	bé hơn .
Lời giải
Giả sử từ các chữ số lập được số . đôi một khác nhau. chẵn. 
TH 1: . Chọn từ các chữ số có cách. Chọn có cách.
Suy ra có : số.
TH 2: .
+ Chọn từ các chữ số có cách. Chọn từ các chữ số có cách. Chọn có cách. Suy ra có : số.
+ Chọn từ các chữ số có cách. Chọn từ các số chẵn bỏ có cách. Chọn có cách. Suy ra có : số.
Vậy tất cả có: 360 số .
Bài 2 . Cho 
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau được lập từ các chữ số trên.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau trong đó có chữ số lẻ, chữ số chẵn lập từ các chữ số trên.
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau nhỏ hơn 24000.
 	Lời giải
a) Giả sử từ các chữ số thuộc tập , lập được số tự nhiên . đôi một khác nhau. 
Chọn có cách. Chọn có cách .
Suy ra có : số.
b) Tập có chữ số chẵn là và chữ số lẻ là .
Lấy chữ số lẻ từ có cách.
Lấy chữ số chẵn từ có cách.
Hoán vị chữ số vừa lấy có cách.
Suy ra có số ( trong đó có cả trường hợp chữ số đứng ở đầu) .
Trường hợp chữ số đứng ở đầu có: số.
 Vậy có: số.
c) Giả sử từ các chữ số thuộc tập , lập được số tự nhiên 
( đôi một khác nhau , ).
TH 1: . Chọn có cách.
Suy ra có: số.
TH 2: .
+ Chọn từ các chữ số có cách. Chọn có cách. 
Suy ra có : số.
Vậy có số.
Bài 3. a. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển .
b. Tìm số hạng không chứa trong khai triển với .
Lời giải
a. Xét: .
	Hệ số của số hạng chứa trong khai triển ứng với thỏa mãn: .
 Hệ số của số hạng chứa trong khai triển là: .
 b. ĐK: .
Ta có: .
Hệ số của số hạng không chứa trong khai triển ứng với thỏa mãn: Vậy số hạng không chứa trong khai triển là: .
Bài 4. 	Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức New-Tơn của biểu thức biết 
 .
Lời giải
 Điều kiện: .
 Ta có: .
 Hệ số của số hạng chứa trong khai triển ứng với . 
 Vậy hệ số của trong khai triển là: .
Bài 5. Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Newton biết rằng . 
	Lời giải	
Điều kiện .
Ta có: 
 .
Suy ra 
Số hạng tổng quát trong khai triển là : . 
Số hạng không chứa .
Vậy số hạng cần tìm là .
Bài 6. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton . Biết rằng . 
	Lời giải	
Điều kiện ,
Ta có 
 (vì )
.
Suy ra 
Số hạng tổng quát trong khai triển là .
Vì số hạng cần tìm chứa nên .
Vậy hệ số của số hạng chứa là .