Giáo án Đại số Lớp 11 - Chủ đề: Đạo hàm cấp hai

Chủ đề : ĐẠO HÀM CẤP HAI
Thời lượng dự kiến: 2 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
 - Nắm được khái niệm đạo hàm cấp hai, cách tính đạo hàm cấp 2 bằng định nghĩa.
 - Hiểu được ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai, cách tính gia tốc của một chuyển động bằng đạo hàm cấp hai.
 - Nắm được khái niệm đạo hàm cấp n của một hàm số.
2. Kĩ năng
 - Tính được đạo hàm cấp 2 của hàm số đã chỉ ra.
 - Giải bài toán vật lý.
3. Về tư duy, thái độ
 - Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.	
 - Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển:
 + Năng lực tực học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và khắc phục sai sót.
 + Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp cận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống đặt ra trong học tập.
 + Năng lực tự quản lý: Làm chủ các cảm xúc bản thân trong quá trình học tập và trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lí nhóm của mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ vủa mình và hoàn thành nhiệm vụ được giao.
 + Năng lực giao tiếp: Tiếp thu các kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
 + Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm; trách nhiệm của bản thân, đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.
 + Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
+ Kế hoạch bài học.
2. Học sinh
+ Đọc trước bài.
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng 
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
A
Mục tiêu: Làm cho học sinh thấy vấn đề cần thiết phải nghiên cứu đạo hàm cấp 2 của hàm số .
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
 Cho học sinh nhắc lại câu chuyện dân gian Rùa và Thỏ chạy đua.Rút ra ý nghĩa của câu chuyện.
 Bây giờ ta chuyển thành bài toán vật lí lớp 10 đã học. Giã sử trong cuộc thi chạy đua của Rùa và Thỏ, hai con cùng xuất phát tại vị trí A. Sau 30 giây Thỏ chạy đến điểm B và đạt vận tốc 3(m/s). Sau 40 giây Thỏ chạy đến điểm C và đạt vận tốc 5(m/s). Tính gia tốc của Thỏ chạy là bao nhiêu?
GV : - Cho học sinh thảo luận và trình bày lời giải của mình.
 - Gọi học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm.
Giáo viên chính xác hóa bài giải: Theo vật lí 10 ta đã học ta chọn mốc thời gian là lúc xuất phát
Theo đề: . Ta có công thức gia tốc là: 
 Vậy gia tốc trong toán học sẽ được tính như thế nào. Đó là ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai ta sẽ học trong bài này.
Phương thức tổ chức: Nêu vấn đề. Phân nhóm – Tại lớp.
Học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Học sinh nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai. 
Nhớ lại công thức tính gia tốc ở môn vật lí lớp 10.
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
B
Mục tiêu: Hiểu được định nghĩa đạo hàm cấp 2 của hàm số, nắm được ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. .
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Nội dung 1: Định nghĩa đạo hàm cấp hai
Tiếp cận kiến thức: Tính đạo hàm của các hàm số: 
1. a) 	b) 
2. a) 	b) 
- Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào giấy
(nhóm I, II làm bài 1); nhóm III,IV làm bài 2))
Gọi 2 học sinh nhóm I,III lên trình bày lời giải và giải thích bài làm.
Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được.
Cho 2 học sinh nhóm II,IV nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai.
Hình thành kiến thức:
Từ bài 1. ta có: và 
Từ bài 2. ta có: và 
- Cho học sinh nhận xét mối quan hệ giữa các hàm số ; và trong mỗi bài trên.
Vậy ta thấy là đạo hàm 2 lần của.
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại . Nếu hàm số có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp 2 của hàm số y =f(x). 
 Kí hiệu: y’’ hoặc f’’(x).
Củng cố:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1) 	2) 	
3) 	 4) 
- Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày kết quả. Nhóm khác nhận xét. Giáo viên nhận xét và kết luận.
Nội dung 2 : Đạo hàm cấp cao.
Tiếp cận kiến thức:Từ kết quả đạo hàm cấp hai của hàm số: cho học sinh tính đạo hàm lần 3, lần 4.
Gọi học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm.
Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Cho học sinh nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai.
Hình thành kiến thức: Từ bài trên ta có:
*Định nghĩa: Cho hàm số có đạo hàm cấp . Kí hiệu . Nếu có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp của .
Kí hiệu: hoặc . Viết: .
*Chú ý: Đạo hàm cấp 3 của hàm số là hoặc hay .
Củng cố:
Ví dụ 2 : Tính đạo hàm cấp ba của các hàm số sau:
1) 	2) 	 
- Cho học sinh thảo luận và trình bày kết quả. Học sinh khác nhận xét. Giáo viên nhận xét và kết luận.
. Phương thức tổ chức: Tổ chức hoạt động theo nhóm 
- Học sinh tính được đạo hàm các hàm số trên.
- Nhận xét thấy ; từ đó suy ra 
Nhận biết được định nghĩa đạo hàm cấp 2 của hàm số.
1) 	 
3) 	 
Tính được đạo hàm cấp 3, cấp 4 của hàm số 
- Đạo hàm lần 3 của hàm số là đạo hàm của đạo hàm cấp 2 của hàm số đó.
- Đạo hàm lần 4 của hàm số là đạo hàm của đạo hàm lần 3 của hàm số đó.
- Hiểu được định nghĩa đạo hàm cấp cao của hàm số.
- Nắm được công thức 
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.
Tiếp cận kiến thức: 
Cho học sinh nhắc lại định nghĩa của đạo hàm và ghi lại công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa.
- Học sinh khác nhận xét bài bạn
- Giáo viên chính xác hóa: Cho hàm số xác định trên khoảng (a; b) và . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm 
Kí hiệu: f¢(x0) = 
Đặt là số gia của đối số tại và là số gia của hàm số tại . 
Khi đó : 
Hình thành kiến thức: Từ ví dụ ban đầu ta có là gia tốc. Vậy nếu một chất điểm chuyển động với pt: thì vận tốc tại thời điểm của chất điểm đó là 
- Nếu nhận một số gia thì nhận số gia là 
Vậy theo định nghĩa đạo hàm ta có: là gia tốc tức thời của chuyển động.
*Ý nghĩa: Xét một vật chuyển động xác định bởi phương
trình với là hàm số có đạo hàm cấp hai.
Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm bằng đạo hàm cấp hai của hàm số tại thời điểm kí hiệu là: . Vậy 
*Chú ý: Gia tốc tại thời điểm đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó.
Bài toán : 
Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do cps phương trình s=12gt2
Xét chuyển động có phương trình: là các hằng số.Tính gia tốc
của chất điểm tại thời điểm t.
Củng cố: Xét ví dụ
1) Phương trình chuyển động của một chất điểm là: ( với s tính bằng mét(m); tính bằng giây (s)). Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm .
2) Phương trình chuyển động của một chất điểm là: ( với s tính bằng mét(m); tính bằng giây (s)). 
a)Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm .
b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11(m/s).
- Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào giấy
(nhóm I, II làm bài 1); nhóm III,IV làm bài 2))
Gọi 2 học sinh nhóm I, III lên trình bày lời giải và giải thích bài làm.
Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được.
Cho 2 học sinh nhóm II, IV nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai.
Phương thức tổ chức: Nêu và giải quyết vấn đề. Tổ chức hoạt động theo nhóm
- HS nhắc lại được định nghĩa đạo hàm.
Công thức tính vận tốc và gia tốc tại thời điểm t của một chuyển động có phương trình s = s(t).
Ta có: v(t) = g.t.
Vậy, gia tốc của chuyển động tại thời điểm t là: 
Ta có: 
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t là: 
 γt=v't=-Aω2.sinωt+φ.
1) 
 . 
Vậy 
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
C
Mục tiêu: Cho học sinh nhắc lại định nghĩa đạo hàm cấp hai, cấp 3, và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
 Bài tập rèn luyện: Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào giấy
(nhóm I bài 1-2); nhóm II làm bài 3-4); nhóm III làm bài 5-6); nhóm IV làm bài 7-8))
Gọi mỗi nhóm đại diện 1 học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm.
Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được.
- Cho học sinh trong nhóm bổ sung nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai.
 Câu 1: Cho . Tính . 
 A. B. . 
 C. . D. .
Câu 2: Đạo hàm cấp 3 của hàm số là:
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 3: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. .	B. .	
C. 	D. 
Câu Câu 4: Phương trình chuyển động của một chất điểm (s tính bằng mét, t >0 tính bằng giây). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0.
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 5: Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp hai là ?
A..	B. .	
C..	D..
Câu 6: Cho hàm số . Đẳng thức nào sau đây là đúng với mọi ?
A. .	B..	
C. .	D..
Câu Câu 7 : Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình trong đó là giây, là mét. Gia tốc của chuyển động khi là:
A..	B..	
C..	D..
Câu Câu 8: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình trong đó tính bằng giây, tính bằng mét. Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:
A..	B..	
C..	D..
Phương thức tổ chức : Nêu và giải quyết vấn đề. Tổ chức hoạt động theo cá nhân và theo nhóm.
Câu 1: Đáp án B. Ta có:
Câu 2: Đáp án D. Ta có: nên : 
Câu 3: Đáp án A. 
Ta có: , 
Thay vào: 
Câu 4: Đáp án B. 
Ta có:
 .
Câu 5: Đáp án C. 
Ta có: 
Câu 6: Đáp án B. 
Ta có:
Câu 7: Đáp án B. 
Ta có: .
Vậy gia tốc 
Câu 8: Đáp án D. 
Ta có: 
Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi 
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG
D,E
Mục tiêu: Áp dụng đạo hàm để giải một số bài toán về tổ hợp
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Tính tổng .
 A.. B. . C.. D..
Tìm số nguyên dương thỏa mãn: .
A.. B.. C.. D..
Hướng dẫn giải :
Đáp án A. 
 Từ nhị thức lấy đạo hàm hai vế:
. 
Thay ta được .
Đáp án C. 
Xét khai triển nhị thức . 
Lấy đạo hàm bậc nhất hai vế ta được 
Cho ta được
Phương thức tổ chức : Nêu và giải quyết vấn đề. Tổ chức hoạt động theo cá nhân .
HS nêu được công thức khai triển nhị thức Niutơn
Lấy được đạo hàm 2 vế phương trình (*)
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT
1
Câu 1. [1D5-0.0-2] Đạo hàm cấp hai của hàm số là biểu thức nào trong các biểu thức sau?
	A. B. 
 C. D. 
Câu 2. Cho hàm số , giá trị của bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3. Cho hàm số . Tính .
	A. 	B. 	C. 	D. 
THÔNG HIỂU
2
Câu 1. 	Cho chuyển động được xác định bởi phương trình, với là thời gian tính bằng giây, là quãng đường chuyển động tính bằng mét. Tính từ lúc bắt đầu chuyển động, tại thời điểm giây thì gia tốc của chuyển động có giá trị bằng bao nhiêu?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2. 	Đạo hàm cấp 2 của hàm số là :
	A. . B. . C. D. .
Câu 3. 	Cho hàm số . Tính .
	A. .	B. 	C. .	D. 
Câu 4. 	Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
	A. .	B. .	C. . D. .
VẬN DỤNG
3
Câu 1. 	Cho hàm số . Khi đó bằng:
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2. 	Đạo hàm cấp n của hàm số là :
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Câu 3. 	Cho hàm số . Đạo hàm cấp của hàm số là:
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4. 	Cho hàm số . Phương trình có các nghiệm thuộc đoạn là: 
 A. , .	 B. , .	 C. , . 	D. .
VẬN DỤNG CAO
4
Câu 1. 	Đạo hàm cấp 2 của hàm số bằng:
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Câu 2. 	Cho hàm số . Tìm .
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Câu 3. 	Đạo hàm cấp n của hàm số là :
	A. .	B. .
	C. .	D. .
V. PHỤ LỤC
PHIẾU HỌC TẬP
1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ
2
Nội dung
Nhận thức
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao