Giáo án Đại số Lớp 11 - Chủ đề: Giới hạn của dãy số

Chủ đề. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Thời lượng dự kiến: 4 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
 - Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số, một vài giới hạn đặc biệt, giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương.
- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
- Giới hạn tại vô cực.
2. Kĩ năng
- Vận dụng thành thạo tính chất của giới hạn để tìm giới hạn của dãy số.
- Vận dụng giới hạn của dãy số để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
3.Về tư duy, thái độ	
- Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống.
- Tự giác tích cực học tập. 
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. 
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng 
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
A
Mục tiêu: Học sinh tiếp cận với khái niệm “giới hạn”
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Hình bên nói về một nghịch lí có tên là nghịch lí đường tròn
Nghịch lí này: Xét một đường tròn và một đa giác đều nội tiếp đường tròn ấy (Hình bên). 
Bạn có nhận xét gì về đa giác cạnh ấy nếu như số cạnh cứ không ngừng tăng lên, tăng mãi mãi đến vô tận?
Rõ ràng, khi không ngừng tăng lên thì đa giác sẽ càng ngày càng trở thành hình tròn mà nó nội tiếp. Điều này cũng không quá khó để tưởng tượng. Khi ấy ta nói giới hạn của đa giác khi n tiến tới vô tận sẽ là đường tròn.
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
B
Mục tiêu: + Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.
+ Một số giới hạn đặc biệt của dãy số.
+ Một số định lí về giới hạn của dãy số và công thức tính tổng của CSN lùi vô hạn.
+ Định nghĩa giới hạn vô cực, định lí về giới hạn vô cực.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Yêu cầu hs thực hiện hoạt động 1 (sgk)
Cho dãy số với .Viết dạng khai triển của dãy số và biểu diễn hình học dãy số trên trục số ?
a) Nhận xét xem khoảng cách từ tới thay đổi thế nào khi trở nên rất lớn?
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy số thì khoảng cách từ đếnnhỏ hơn 
Phương thức: cá nhân-tại lớp.
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
1. Định nghĩa:
ĐỊNH NGHĨA 1:
Ta nói dãy số ó giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu có thể hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. 
Kí hiệu: hay 
Ví dụ : 
Câu hỏi : Cho dãy số với Kể từ số hạng thứ trở đi thì ta có Hãy chọn số nhỏ nhất. 
A. 	B. 	 C. 	 D. 
HS lên bảng biểu diễn hình học và nhận xét: 
a) K/c từ tới càng nhỏ khi càng lớn
b) Từ số hạng thứ trở đi
 Từ số hạng thứ trở đi
-HS ghi nhận định nghĩa 1
-HS đứng tại chỗ trả lời
D. 
● Cho dãy số (un) với 
Dãy số này có giới hạn như thế nào?
Để giải bài toán này ta nghiên cứu ĐN2
ĐỊNH NGHĨA 2:
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi , nếu . 
Kí hiệu: 
hay 
● Thực hiện HĐ2:
H1: chứng minh rằng: 
H2: cho dãy số (vn) với . Chứng minh rằng 
Phương thức: cá nhân-tại lớp.
-HS đọc định nghĩa 2 và ghi nhận
TL1: 
Vậy 
TL2: làm tương tự như trên
● Giáo viên nêu các kết quả:
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
 với k nguyên dương
 nếu |q| < 1
Nếu un = c (c là hằng số) thì 
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
Phương thức: cá nhân-tại lớp.
● Giáo viên nêu chú ý: từ nay về sau thay cho ta viết tắt là: 
HS tiếp thu kiến thức mới.
Kết quả:
+) 0
+) 0 ,vì /1/3 /<1 
+) 2019
II/ Định lí về giới hạn hữu hạn
GV giới thiệu định lí 1
Định lí 1:( Sgk )
 GV cho học sinh thảo luận, trao đổi các ví dụ sgk
GV phát phiếu học tập số 1
Ví dụ :Tính các giới hạn sau 
a/ 
b/ 
( Phiếu học tập số 1 )
GV cho học sinh thực hành theo nhóm trên cơ sở các ví dụ sgk
GV hướng dẫn:
+ Chia cả tử và mẫu cho n2
+ Áp dụng các định lí và suy ra kết quả 
Phương thức: theo nhóm-tại lớp.
HS tiếp thu kiến thức mới.
HS trao đổi nhóm và trình bày bài giải 
 a/ 
 = 
 b/ Chia cả tử và mẫu cho n :
III/ Tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
-GV giới thiệu các ví dụ , các em có nhận xét gì về công bội q của các dãy số này.
+ Dãy số 
+ Dãy số 
-Từ đó GV cho HS nắm định nghĩa 
*Định nghĩa: CSN có công bội q với gọi là CSN lùi vô hạn. 
 + GV cho tính 
 + GV cho ghi nhận công thức.
*Tổng cấp nhân lùi vô hạn với công bội q :
-GV phát phiếu học tập thứ hai và cho hs hoạt động nhóm.
Ví dụ : a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn () với =.
 b/ Tính tổng
( Phiếu học tập số 2 )
Phương thức: theo nhóm-tại lớp.
+ Dãy số thứ nhất có công bội 
 + Dãy số thứ hai có công bội 
 + Cả hai dãy số đều có công 
 bội q thoả : 
+ Dự kiến kết quả:
 Tổng cấp nhân 
mà 
nên 
 + Dự kiến kết quả các nhóm
Câu a. 
 Nên 
 Câu b. 
 Nên 
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
Thực hiện hoạt động 2 sgk
Phương thức: theo nhóm-tại lớp
GV : Ta cũng chứng minh được rằng có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạn nào đó trở đi. Khi đó, dãy số (un) nói trên được gọi là dần tới dương vô cực, khi )
GV nêu định nghĩa và yêu cầu HS xem ở SGK.
1)Định nghĩa: (sgk)
HS trao đổi và rút ra kết quả: 
a) Khi n tăng lên vô hạn thì un cũng tăng lên vô hạn.
b) n > 384.1010
HS chú ý theo dõi để lĩnh hội kiến thức
GV nêu các giới hạn đặc biệt và ghi lên bảng 
2)Vài giới hạn đặc biệt:
a) lim nk=với k nguyên dương;
b) lim qn= nếu q>1.
Gọi HS lấy một số ví dụ đơn giản
HS chú ý theo dõi để lĩnh hội kiến thức 
TL: 
GV nêu và chiếu lên bảng nội dung định lí 2.
3) Định lí:
Định lí 2: a)Nếu lim un = a và lim vn= thì .
b)Nếu lim un=a>0, lim vn=0 và vn>0 với mọi n thì 
c) Nếu lim un= và lim vn=a>0 thì lim unvn=
Ví dụ: Tính các giới hạn:
 a) 
Phương thức: theo nhóm-tại lớp
HS chú ý theo dõi để lĩnh hội kiến thức
HS trao đổi để rút ra kết quả:
a) 
vì và nên
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
C
Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Giải bài tập 2: (SGK)
Biết dãy số thỏa mãn với mọi n. Chứng minh rằng: .
Phương thức: theo nhóm-tại lớp
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Vì nên có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim (un-1)=0. Do đó, lim un=1
Giải bài tập 3(SGK)
Tìm các giới hạn sau:
 ; b) 
; d) 
Phương thức: cá nhân-tại lớp.
Dự kiến kết quả
a)2; b); c)5; d).
Giải bài tập 6(SGK)
Cho a=1,02020202...Hãy viết a dưới dạng phân số?
GV gợi ý: 
= 
Xét dãy: là một CSN lùi vô hạn do đó ta tính được S
Phương thức: theo nhóm-tại lớp.
Dự kiến kết quả
Ta có:
Giải bài tập 7(SGK)
Gợi ý: áp dụng giới hạn vô cực.
Gv gọi 4 học sinh lên bảng thực hiện.
Chú ý: 
Phương thức: cá nhân-tại lớp.
Dự kiến kết quả 
a) 
b) 
c) 
d) 
Giải bài tập 8(SGK)
Biết . Tính
a) 
b) 
Gợi ý: áp dụng các định lí về giới hạn.
Phương thức: cá nhân-tại lớp.
Dự kiến kết quả
a) 
b) 
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG
D,E
Mục tiêu: Học sinh thấy mối liên hệ giữa các kiến thức đã học
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
GV cho bài tập sau :
Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi . 
Tìm kết quả đúng của .
A.. B.. C..	 D.
Phương thức: cá nhân-ở nhà
Ta có: 
Dự đoán với 
Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó .
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT
1
Câu 1. Giá trị của bằng:
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 2. Giá trị của bằng:
	A. 	B. 	C. 0	D. 
Câu 3. Giá trị của bằng:
	A. 	B. 	C. 0	D. 
Câu 4. Giá trị của bằng:
	A. 	B. 	C. 0	D. 
Câu 5. Giá trị của bằng:
	A. 	B. 	C. 2	D. 
Câu 6. Giá trị của bằng:
	A. 	B. 	C. 0	D. 
 THÔNG HIỂU
2
Câu 1. Giá trị của. bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2. Kết quả đúng của là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3. Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4. Giá trị của bằng:
	A. 	B. 	C. 0	D. 
VẬN DỤNG
3
Câu 1. Tính giới hạn: 
A..	B..	C.	D..
Câu 2. Tính giới hạn:
A..	B..	C..	D..	
Câu 3. Kết quả đúng của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
VẬN DỤNG CAO
4
Câu 1. Giá trị của. bằng:
	A. 	B. 	C. 0	D. 
Câu 2. Tính giới hạn:
A.	B..	C..	D. Không có giới hạn.