Giáo án Đại số Lớp 11 - Chủ đề: Hàm số lượng giác - Trịnh Hòa Duy

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. Các công thức lượng giác
1. Các hằng đẳng thức:
* với mọi 	* với mọi 
* với mọi 	* với mọi 
2. Hệ thức các cung đặc biệt
A. Hai cung đối nhau: và 
B. Hai cung phụ nhau: và 
C. Hai cung bù nhau: và 
D. Hai cung hơn kém nhau : và 
3. Các công thức lượng giác
A. Công thức cộng 
B. Công thức nhân
C. Công thức hạ bậc
D. Công thức biến đổi tích thành tổng
.
e. Công thức biến đổi tổng thành tích
	.
II. Tính tuần hoàn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số xác định trên tập được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số sao cho với mọi ta có: và .
	Nếu có số dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì .
III. Các hàm số lượng giác
1. Hàm số 
Tập xác định: 
 Tập giác trị: , tức là 
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , nghịch biến trên mỗi khoảng .
 Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
 Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì .
 Đồ thị hàm số .
2. Hàm số 
Tập xác định: 
 Tập giác trị: , tức là 
 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng , đồng biến trên mỗi khoảng .
 Hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục làm trục đối xứng.
 Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì .
 Đồ thị hàm số .
Đồ thị hàm số bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số 
theo véc tơ .
3. Hàm số 
 Tập xác định : 
 Tập giá trị: 
 Là hàm số lẻ
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 
 Hàm đồng biến trên mỗi khoảng 
 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận.
 Đồ thị
4. Hàm số 
 Tập xác định : 
 Tập giá trị: 
 Là hàm số lẻ
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 
 Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng 
 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận.
 Đồ thị
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
Phương pháp .
 Hàm số có nghĩa và tồn tại
 Hàm số có nghĩa và tồn tại.
 .
 .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. 2. 
Lời giải.
1. Điều kiện: 
TXĐ: . 
2. Điều kiện: 
TXĐ: .
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. 2. 
Lời giải.
1. Điều kiện: 
Vậy TXĐ: 
2. Ta có: 
Điều kiện: 
Vậy TXĐ: .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
TXĐ: .
Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Do nên hàm số có nghĩa 
.
TXĐ: .
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Vậy TXĐ: 
Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Vật TXĐ: 
Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
: Điều kiện: 
.
TXĐ: .
Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
.
TXĐ: .
Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
.
TXĐ: .
Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: .
TXĐ: .
Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
TXĐ: .
Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
TXĐ: 
Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số
Phương pháp .
Cho hàm số tuần hoàn với chu kì 
* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ (với ) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
* Số nghiệm của phương trình , (với là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị và .
* Nghiệm của bất phương trình là miền mà đồ thị hàm số nằm trên trục .
Chú ý: 
 Hàm số ( với ) là hàm số tuần hoàn với chu kì ( là ước chung lớn nhất).
 Hàm số (với ) là hàm tuần hoàn với chu kì .
Các ví dụ
Ví dụ 1. 
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số :
Lời giải:
Ta có hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở .
Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau.
1. 2. 
Lời giải:
1. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn có số thực dương thỏa
Cho 
 vô lí, do là số hữu tỉ.
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn
Cho 
.
Cho ta có: .
.
Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.
Ví dụ 3. Cho là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi là số hữu tỉ.
Lời giải:
* Giả sử là hàm số tuần hoàn 
Cho 
.
* Giả sử . Đặt 
Ta có: là hàm số tuần hoàn với chu kì .
Ví dụ 4. Cho hàm số và là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là . Chứng minh rằng nếu là số hữu tỉ thì các hàm số là những hàm số tuần hoàn.
Lời giải:
Vì là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên sao cho
Khi đó và 
Suy ra và , . Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét: 
1. Hàm số ( với ) là hàm số tuần hoàn với chu kì ( là ước chung lớn nhất).
2. Hàm số (với ) là hàm tuần hoàn với chu kì .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có 
Giả sử có số thực dương thỏa 
 (1).
Cho 
 không xảy ra với mọi .
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở .
Bài 2. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có 
Giả sử có số thực dương thỏa mãn 
 (2)
Cho , còn (2) không xảy ra với mọi .
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở .
Bài 3. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 4.. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 5. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 6. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 7. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 8. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 9. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau 
	A. Hàm số không tuần hoàn	B. 
	C. 	D. 
ĐÁP ÁN 
1A
2A
3A
4A
5A
6A
7A
8A
9A
Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau 
Lời giải:
Hàm số 
 TXĐ: 
 Hàm số là hàm số lẻ
 Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì .
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng . Nghịch biến trên mỗi khoảng .
 Đồ thị hàm số đi quan các điểm .
Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau 
Lời giải:
Hàm số 
 TXĐ: 
 Hàm số là hàm số lẻ
 Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì .
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng . 
 Các đường tiệm cận: .
 Đồ thị hàm số đi quan các điểm .
Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau 
Lời giải:
Hàm số 
Ta có: 
 TXĐ: 
 Hàm số là hàm số chẵn
 Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì .
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , nghịch biến trên mỗi khoảng . 
 Đồ thị hàm số đi quan các điểm .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số 
Đồ thị hàm số: 
Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số 
Đồ thị hàm số: 
Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. 2. 
Lời giải:
1 Ta có .
Do 
.
* .
* .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng , giá trị nhỏ nhất bằng .
2. Ta có: 
* .
* .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng , giá trị nhỏ nhất bằng .
Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. 2. 
Lời giải:
1. Ta có: 
Đặt . Khi đó 
Vậy đạt được khi 
 đạt được khi 
2. Đặt 
Khi đó: 
Vì 
Do đó 
Vậy .
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số sau chỉ nhận giá trị dương : 
Lời giải:
Đặt 
Ta có: 
Do 
Hàm số chỉ nhận giá trị dương 
.
Vậy là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Tìm để hàm số xác định với mọi x 
Lời giải:
Hàm số xác định với mọi 
 (1)
 đúng
 khi đó ta có: 
Ví dụ 5. Cho các góc nhọn thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
Lời giải:
Ta có hàm số đồng biến trên khoảng 
Và . 
 Giả sử 
Suy ra: 
Mâu thuẫn với 
 Giả sử 
Suy ra: 
Mâu thuẫn với 
 Nếu đúng.
Vậy .
Ví dụ 6. Tìm gtln và gtnn của các hàm sau : 
1. 	2. 
Lời giải:
1. Xét phương trình : 
phương trình có nghiệm
Vậy .
2. Do hàm số xác định với 
Xét phương trình : 
Phương trình có nghiệm 
Vậy .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,	
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Ta có .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng , đạt được khi .
Giá trị nhỏ nhất bằng , đạt được khi .
Bài 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,	
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Ta có 
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng , đạt được khi 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng , đạt được khi .
Bài 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,
	C. ,	D. ,	
Lời giải:
Ta có: 
Bài 4. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Ta có: 
Bài 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Ta có: 
Bài 6. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Ta có: 
Bài 7. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Đặt 
.
Do .
Vậy đạt được khi .
 đạt được khi .
Bài 8. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Áp dụng BĐT . 
Đẳng thức xảy ra khi . 
Ta có: 
.
Vậy , đạt được khi .
 , đạt được khi .
Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau
, 
Tức là: .
Bài 9. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có : trong đó thỏa 
Suy ra .
Bài 10. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: 
 Suy ra .
Bài 11. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: .
Mà 
Từ đó ta có được: .
Bài 12. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Ta có: đạt được khi 
 đạt được khi 
Bài 13. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Ta có: đạt được khi 
 đạt được khi 
Bài 14. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. ,	B. ,
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Ta có và 
Mà 
Suy ra 
 đạt được khi 
 đạt được khi 
Bài 15. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: 
 đạt được khi 
Không tông tại .
Bài 16. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: 
Đặt 
Suy ra 
Bảng biến thiên
Vậy đạt được khi .
Không tồn tại .
Bài 17. Tìm để hàm số xác định với mọi .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Hàm số xác định với mọi 
Do .
Bài 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: . Suy ra: 
Bài 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
. Ta có: . Suy ra: 
Bài 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: . Suy ra: 
Bài 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: 
Suy ra: 
Bài 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: . Suy ra: 
Bài 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: . Suy ra: 
Bài 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: 
Suy ra: .
Bài 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: 
Suy ra: .
Bài 26. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Xét phương trình: 
Phương trình có nghiệm 
Vậy .
Bài 27. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có 
( do )
Vậy .
Bài 28. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Đặt 
Khi đó: với 
Do .
Bài 29. Tìm để các bất phương trình đúng với mọi 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Đặt 
Ta có: 
Do 
Suy ra yêu cầu bài toán .
Bài 30. Tìm để các bất phương trình đúng với mọi 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Đặt 
(Do hàm số xác định trên )
Suy ra 
Yêu cầu bài toán .
Bài 31. Tìm để các bất phương trình đúng với mọi 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Trước hết ta có: 
 (*)
Nên 
Suy ra: 
Nên 
 (loại)
Vậy là những giá trị cần tìm.
Bài 32. Cho thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có: 
Suy ra: 
Áp dụng bđt: 
Suy ra: . Đẳng thức xảy ra .
Do đó: .
Bài 33. Tìm để giá trị nhỏ nhất của hàm số lớn hơn . 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có 
Yêu cầu bài toán .