Giáo án Toán 11 - Bài tập phần: Dãy số - Cấp số cộng – cấp số nhân

CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
PHÂN 1 – LÝ THUYẾT
Xét mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên . Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi ( là số tự nhiên cho trước) thì ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra đúng với .
Bước 2: Giả sử đúng khi , (xem đây là giả thiết để chứng minh bước 3). 
Bước 3: Ta cần chứng minh đúng khi (bước này quan trọng và khó nhất) .
Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng đúng với mọi . 
PHẦN 2 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức.
Phương pháp giải:
Làm theo 4 bước như phần lý thuyết, chú ý ta sẽ sử dụng Bước 2 đề chứng minh Bước 3. 
Ví dụ điển hình
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 
Hướng dẫn giải
 (1)
Với n = 1: Vế trái của (1) ; Vế phải của (1) . Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh: 
Thật vậy (đpcm). 
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 
Hướng dẫn giải
Với n = 1: Vế trái của (1) ; Vế phải của (1) . 
Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh: 
Thật vậy 
 (đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có: 
Hướng dẫn giải
 (1)
Với n = 2: Vế trái của (1) , vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy ta có: 
(đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có: 
Hướng dẫn giải
Với n = 1: Vế trái của (1) , vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy: 
 (đúng).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có: 
Hướng dẫn giải
 (1)
Với n = 2: Vế trái của (1) = 4, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh: 
Thật vậy: 
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương .
Bài tập luyện tập
Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
LỜI GIẢI
a) 
Với n = 1: Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1) . Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh: 
Cách 1 : Thật vậy (thế (2) vào).
 (đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Cách 2 : Trường hợp không biết phân tích thành nhân tử thì sau khi thế (2) vào ta có thể biến đổi cả hai vế của điều phải chứng minh bằng cách nhân hết ra thành đa thức
VT= 
Mặt khác :
VP=
 VT= VP. Vậy đúng khi .
 Chú ý : với là 2 nghiệm của phương trình . 
Áp dụng : ta thấy có 2 nghiệm là . Do đó 
b) ,(1)
Với n = 1: Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với .Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh: 
Thật vậy: 
 (đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
c) (1)
Với n = 1: Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh: 
Thật vậy: 
 (đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
d) , (1)
Với n = 1: Vế trái của (1) = 6, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh: 
Thật vậy: 
 (đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
e) (1)
Với n = 1: Vế trái của (1) , vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: (2).
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy: 
 (đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
f) (1)
Với n = 1: Vế trái của (1) , vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy: 
 (đúng).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức.
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:
Bước 1: Chứng minh rằng khi . luôn đúng
Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, . Giả sử đúng với , ta được đúng
Bước 3: Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng khi . 
Cách 1: Ta có , thông thường thì sẽ sử dụng giả thiết 
Cách 2: . Xét 
Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng đúng với mọi số tự nhiên 
Ví dụ điển hình
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có: 
Hướng dẫn giải
Với , , vậy (*) đúng với .
Giả sử ta có đúng.
Ta cần chứng minh 
Cách 1. Thật vậy, . Ta lại có , bất đẳng thức này đúng với mọi . Suy ra (đúng).
Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương .
Cách 2. 
Xét hiệu vì 
Nên Suy ra (đúng).
Cách 3 : mà bất đẳng thức này đúng với mọi . Suy ra (đúng).
Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có: 
Hướng dẫn giải
Đặt 
Với ta có (đúng).
Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 
Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy ta có: 
 (đúng).
Vậy (đúng). Vậy (*) đúng với .
Suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có: 
Hướng dẫn giải
Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .
Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: (1).
Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với ta được: 
 (đúng).
Vậy (*) đúng với . Do đó (*) đúng với .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có: 
Hướng dẫn giải
Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .
Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: (1).
Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:
.
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với ta được: (theo câu c)).
. Vậy (*) đúng với .
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có: 
Hướng dẫn giải
Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .
Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: (1).
Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 
Vì . Vậy (đúng).
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương .
Bài tập luyện tập
Câu 1: 
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có: 
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có: 
LỜI GIẢI:
a) Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .
Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: (1).
Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh: 
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được: 
 (đúng), vì 
b) Với n = 1: Vế trái của (*) , vế phải của (1) . Suy ra (*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (*) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy: (đúng)
Vì 
(đúng).
Vậy (*) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
Dạng 3: Chứng minh sự chia hết.
Phương pháp giải:
1. Dấu hiệu chia hết cho 2: các chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
 Chú ý: Số chia hết cho 2 được gọi là số chẵn.
 Số không chia hết cho 2 (tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9) được gọi là số lẻ.
2. Dấu hiệu chia hết cho 5: các chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
3. Dấu hiệu chia hết cho 3: tổng các chữ số chia hết cho 3.
 Ví dụ: 162 chia hết cho 3 vì tổng các chữ số là: 1 + 6 + 2 = 9 chia hết cho 3.
4. Dấu hiệu chia hết cho 9: tổng các chữ số chia hết cho 9.
 Ví dụ: 927 chia hết cho 9 vì tổng các chữ số là: 9 + 2 + 7 = 18 chia hết cho 9.
5. Dấu hiệu chia hết cho 4: hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4.
 Ví dụ: 528 chia hết cho 4 vì hai chữ số tận cùng là 28 chia hết cho 4.
6. Dấu hiệu chia hết cho 6: các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3.
 Ví dụ: 5742 chia hết cho 2 và chia hết cho 3 (tự kiểm tra) nên nó chia hết cho 6.
7. Dấu hiệu chia hết cho 7: lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 rồi cộng với chữ số tiếp theo, được bao nhiêu rồi lại nhân với 3 rồi cộng với chữ số tiếp theo cứ như vậy cho đến hết. Nếu kết quả cuối cùng này chia hết cho 7 thì số đó sẽ chia hết cho 7.
 Chú ý: Để nhanh gọn, cứ mỗi lần nhân với 3 rồi cộng số tiếp theo ta lấy kết quả đó trừ đi 7 hoặc trừ đi bội số của 7 (chẳng hạn 14, 21, 28, ).
 Ví dụ: 265891 chia hết cho 7 vì , lấy cho gọn, tiếp tục lấy và cho gọn, lấy và cho gọn, lấy và cho gọn, sau đó lấy . Kết quả cuối cùng bằng 7 là chia hết cho 7 nên số ban đầu cũng chia hết cho 7. .
8. Dấu hiệu chia hết cho 8: ba chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 8.
 Ví dụ: 25637104 chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng là 104 chia hết cho 8. 
9. Dấu hiệu chia hết cho 10: chữ số tận cùng bằng 0.
10. Dấu hiệu chia hết cho 11: lấy tổng tất cả các chữ số ở vị trí lẻ trừ đi tổng các chữ số ở vị trí chẵn, nếu kết quả chia hết cho 11 thì số đó sẽ chia hết cho 11.
 Ví dụ: 6292 chia hết cho 11 vì tổng ở vị trí lẻ là 6+9=15 và tổng ở vị trí chẵn là 2+2=4, lấy 15-4=11 chia hết cho 11 nên số 6292 cũng chia hết cho 11.
11. Dấu hiệu chia hết cho 25: hai chữ số tận cùng chia hết cho 25.
 Ví dụ: 21475 chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng là 75 chia hết cho 25.
12. Dấu hiệu chia hết cho 125: ba chữ số tận cùng chia hết cho 125.
 Ví dụ: 43500 chia hết cho 125 vì ba chữ số tận cùng là 500 chia hết cho 125.
13. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
14. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.
15. Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6 và 8.
 Chú ý: Nếu tam thức bậc 2: có 2 nghiệm là thì .
16. Tính chất của sự chia hết:
a) Tính chất 1: Nếu hai số a và b đều chia hết cho m, thì hiệu (a – b) chia hết cho m.
b) Tính chất 2: Nếu các số đều chia hết cho m thì tổng của chúng cũng chia hết cho m.
c) Tính chất 3: Nếu mỗi số thì tích .
d) Hệ quả 1: Nếu a chia hết cho , thì với số tự nhiên tùy ý ta có: .
e) Hệ quả 2: Nếu chỉ một thừa số chia hết cho thì tích của chúng cũng chia hết cho .
Ví dụ điển hình
Chứng minh rằng với mọi thì chia hết cho 3.
Hướng dẫn giải
Đặt . 
- Khi , ta có . Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: 
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: .
Thật vậy: 
 .
Mà và nên mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi .
Chứng minh rằng với mọi thì chia hết cho 6.
Hướng dẫn giải
Đặt . 
- Khi , ta có . Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: .
Thật vậy: 
Mà , (do và là 2 số tự nhiên liên tiếp nên ) và nên 
 mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi .
Chứng minh rằng với mọi thì chia hết cho 12.
Hướng dẫn giải
Đặt . 
- Khi , ta có . Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: .
Thật vậy: 
 .
Mà và nên mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi .
Chứng minh rằng với mọi thì chia hết cho 9.
Hướng dẫn giải
Đặt . 
- Khi , ta có (vì ta tính thêm ). Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: .
Thật vậy: 
 .
Mà , và nên mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi .
Chứng minh rằng với mọi thì chia hết cho 5.
Hướng dẫn giải
Đặt . 
- Khi , ta có . Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: .
Thật vậy: 
 .
Mà nên mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi .
Chứng minh rằng với mọi thì chia hết cho 120.
Hướng dẫn giải
Trước hết ta chứng minh bổ đề “tích của hai số chẵn dương liên tiếp sẽ chia hết cho 8”. Thật vậy, với là số nguyên dương thì và là hai số chẵn dương liên tiếp. Khi đó tích: mà chia hết cho 2 vì là hai số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 8. Vậy bổ đề chứng minh xong. 
Đặt. 
- Khi , ta có . Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: 
.
Thật vậy: 
 .
Mà có chứa 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết 8 và trong tích có 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết 3 đồng thời tích có thừa số 5 nên chia hết cho 8.3.5=120. Mặt khác nên mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi .
Bài tập luyện tập
Câu 1: Chứng minh rằng với mọi ta có:
 chia hết cho 3.
 chia hết cho 6. 
 chia hết cho 9. 
 chia hết cho 9. 
 chia hết cho 7. 
 chia hết cho 7. 
 chia hết cho 225. 
 chia hết cho 32. 
 chia hết cho 133.
 chia hết cho 169. 
Dạng 4: Quy nạp trong hình học.
Phương pháp giải:
Sử dụng nguyên lý quy nạp toán học kết hợp với các kiến thức hình học đã biết.
Chứng minh rằng tổng các góc trong của một đa giác lồi cạnh là: .
Hướng dẫn giải
Đặt . 
- Khi , ta có . Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: .
Thật vậy: ta tách đa giác cạnh thành đa giác cạnh và tam giác bằng cách nối đoạn . Khi đó tổng các góc trong của đa giác lồi cạnh bằng tổng các góc trong của đa giác lồi cạnh cộng với tổng ba góc trong của tam giác . 
Tức là: mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi , .
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi cạnh là: .
Hướng dẫn giải
Đặt . 
- Khi , ta có . Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: .
Thật vậy: ta tách đa giác cạnh thành đa giác cạnh và tam giác bằng cách nối đoạn . Khi đó trừ đi đỉnh đỉnh và 2 đỉnh kề với nó là thì ta còn lại đỉnh, tương ứng với đường chéo kẻ từ đỉnh cộng với đường chéo thì ta có số đường chéo của đa giác cạnh là: . 
 mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi , .
Cho điểm và số thực sao cho . Chứng 
minh rằng có duy nhất một điểm thỏa: .
Hướng dẫn giải
- Khi , ta có . Suy ra nên duy nhất. Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là với điểm và số thực sao cho thì tồn tại duy nhất điểm thỏa: .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh với điểm và số thực sao cho thì có duy nhất điểm thỏa: .
Thật vậy, ta có:
(do gt quy nạp)
.
Do cố định và nên điểm cố định và duy nhất.
 mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi , .
Chứng minh rằng mọi - giác lồi đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
Hướng dẫn giải
- Khi , ta có một ngũ giác lồi nên mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là ta có - giác lồi được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh mọi - giác lồi đều được chia thành hữu hạn các ngũ giác lồi.
Thật vậy, trên các cạnh và ta lấy các điểm không trùng với các đỉnh. Khi đó đoạn chia - giác lồi thành 2 đa giác lồi, đó là 1 ngũ giác lồi và - giác lồi . Theo giả thiết quy nạp thì - giác lồi sẽ được chia thành hữu hạn các ngũ giác lồi đồng thời ta có thêm 1 ngũ giác lồi nên - giác lồi sẽ được chia thành hữu hạn các ngũ giác lồi.
 mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi , .
Bài tập luyện tập
Câu 1: Trong mặt phẳng cho đường thẳng sao cho không có cặp đường thẳng nào song song và không có 3 đường nào đồng quy. Chứng minh rằng đường thẳng đó chia mặt phẳng thành miền.
Câu 2: Trong mặt phẳng cho đường tròn thẳng sao cho bất cứ 2 đường tròn nào cũng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt và không có 3 đường tròn nào cùng đi qua một điểm. Chứng minh rằng đường tròn đó chia mặt phẳng thành miền.
BÀI TẬP KIỂM TRA 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có: 
Chứng minh rằng với mọi thì: chia hết cho 3.
Chứng minh rằng với mọi thì: chia hết cho 5. 
Chứng minh rằng với mọi thì: chia hết cho 9.
PHẦN 3 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN 3 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên ( là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Chọn B.
Câu 2. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên ( là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với . Khẳng định nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Chọn B.
Câu 3. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên ( là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
 Bước 1, kiểm tra mệnh đề đúng với 
 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với 
Trogn hai bước trên:
	A. Chỉ có bước 1 đúng. 	B. Chỉ có bước 2 đúng.
	C. Cả hai bước đều đúng. 	D. Cả hai bước đều sai.
Lời giải. Chọn C.
Câu 5. Cho với Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Nhìn vào đuôi của là cho , ta được 
Do đó với , ta có Chọn C.
Câu 6. Cho với Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Cách trắc nghiệm: Ta tính được . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B.
Cách tự luận. Ta có dự đoán 
 Với , ta được : đúng.
 Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là .
 Ta có 
 Suy ra mệnh đề đúng với .
Câu 7. Cho với Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Cho Kiểm tra các đáp án chỉ cho B thỏa. Chọn B.
Câu 8. Cho với và Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Vì nên ta cho 
Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D.
Câu 9. Với mọi , hệ thức nào sau đây là sai?
	A. 
	B. .	
	C. 
	D. .
Lời giải. Bằng cách thử với , , là ta kết luận được. Chọn D.