Giáo án Toán 11 - Chủ đề: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. quan hệ song song

CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. 
QUAN HỆ SONG SONG
ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG 
CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Các tính chất thừa nhận.
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .
Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
2. Cách xác định mặt phẳng.
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:
Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.
Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Các kí hiệu:
 là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng ( h1)
 là kí hiệu mặt phẳng đi qua và điểm (h2)
 là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau (h3)
3. Hình chóp và hình tứ diện.
3.1. Hình chóp. 
Trong mặt phẳng cho đa giác lồi . Lấy điểm nằm ngoài .
Lần lượt nối với các đỉnh ta được tam giác . Hình gồm đa giác và tam giác được gọi là hình chóp , kí hiệu là .
Ta gọi là đỉnh, đa giác là đáy , các đoạn là các cạnh bên, là các cạnh đáy, các tam giác là các mặt bên 
3.2. Hình Tứ diện
Cho bốn điểm không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác 
 và được gọi là tứ diện .
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG.
Phương pháp:
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.
Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng và thường được tìm như sau :
Tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc và , đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng nào đó; giao điểm chính là điểm chung của và .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp , đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm thuộc cạnh . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :
a) và b) và 
c) và d) và 
Lời giải.
a) Gọi 
Lại có 
.
b) 
.
Và .
c) Trong gọi 
Và 
d) Trong gọi , ta có .
Ví dụ 2. Cho tứ diện , là một điểm thuộc miền trong tam giác , là điểm trên đoạn 
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng .
b) Gọi là các điểm tương ứng trên các cạnh và sao cho không song song với . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải.
a) Trong gọi , trong gọi 
Lại có .
Tương tự, trong gọi , trong gọi 
 là điểm chung thứ hai của và nên .
b) Trong gọi , ; trong gọi .
Có , 
. Vậy .
Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Phương pháp:
Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện . Trên và lấy các điểm và sao cho cắt tại , cắt tại , cắt tại .
Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Lời giải.
Ta có 
.
Tương tự 
Từ (1),(2) và (3) ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và nên chúng thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tứ diện có lần lượt là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác . Mặt phẳng đi qua cắt lần lượt tại . Một mặt phẳng đi qua cắt tương ứng tại và .
a) Gọi . Chứng minh thẳng hàng.
b) Giả sử . Chứng minh thẳng hàng.
Lời giải.
Ta có , (1)
Từ (1),(2),(3) và (4) ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và nên chúng thẳng hàng.
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác , gọi là giao điểm của hai đường chéo và . Một mặt phẳng cắt các cạnh bên tưng ứng tại các điểm . Chứng minh các đường thẳng đồng qui.
Lời giải.
Trong mặt phẳng gọi .
Ta sẽ chứng minh .
Dễ thấy .
Vậy đồng qui tại .
Ví dụ 4. Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng . Trong lấy hai điểm nhưng không thuộc và là một điểm không thuộc . Các đường thẳng cắt tương ứng tại các điểm . Gọi là giao điểm của và .Chứng minh và đồng qui.
Lời giải.
Trước tiên ta có vì ngược lại thì 
(mâu thuẫn giả thiết) do đó không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng .
Do 
Tương tự 
Từ (1) và (2) suy ra .
Mà 
.
Vậy và đồng qui đồng qui tại .
Bài toán 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ta cần lưu ý một số trường hợp sau:
Trường hợp 1. Nếu trong có sẵn một đường thẳng cắt tại , khi đó 
Trường hợp 2. Nếu trong chưa có sẵn cắt thì ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn một mặt phẳng chứa 
Bước 2: Tìm giao tuyến 
Bước 3: Trong gọi thì chính là giao điểm của .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác với đáy có các cạnh đối diện không song song với nhau và là một điểm trên cạnh .
a) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .
b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .
Lời giải.
a) Trong mặt phẳng , gọi .
Trong gọi . 
Ta có và nên .
b) Trong gọi . 
Trong gọi . 
Ta có và nên .
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác , là một điểm trên cạnh , là trên cạnh . Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.
Lời giải.
Trong mặt phẳng gọi . 
Trong gọi và .
Ta có 
.
Do đó . 
Vậy 
Bài toán 04: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP.
Phương pháp:
Để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng , ta tìm giao điểm của mặt phẳng với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp)
Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác , có đáy là hình thang với là đáy lớn và là một điểm trên cạnh .
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
b) Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi .
Lời giải.
a) Trong mặt phẳng , gọi .
Trong mặt phẳng gọi .
Ta có nên , do đó .
Thiết diện là tứ giác .
b)Trong mặt phẳng gọi lần lượt là các giao điểm của với và 
Trong mặt phẳng gọi 
Trong mặt phẳng gọi .
Ta có , 
VậyTương tự .
Thiết diện là ngũ giác .
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là một hình bình hành tâm . Gọi là ba điểm trên các cạnh . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . 
Lời giải.
Trong mặt phẳng gọi lần lượt là giao điểm của với .
Trong mặt phẳng gọi 
Trong mặt phẳng gọi 
Trong mặt phẳng gọi .
Ta có , .
Lí luận tương tự ta có .
Thiết diện là ngũ giác .
Bài toán 05: DỰNG ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
Phương pháp:
Để dựng đường thẳng đi qua và cắt ta dựng giao tuyến của hai mặt phẳng và , khi đó .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện , là điểm huộc miền trong tam giác , là một điểm trên cạnh .
a) Dựng đường thẳng đi qua cắt cả và .
b) Gọi là mộtđiểm trên cạnh sao cho không song song với . Dựng đường thẳng đi qua cắt và .
Lời giải.
a) Trong gọi 
Trong gọi 
Đường thẳng chính là đường thẳng đi qua cắt cả và .
b) Trong mặt phẳng gọi 
Trong gọi , trong gọi , thì chính là đường thẳng đi qua 
 cắt cả và .
Bài toán 06: TÌM TẬP HỢP GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH GIAO TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH.
Phương pháp:
Để tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng thay đổi ta chọn hai mặt phẳng cố định và cắt nhau lần lượt chứa , khi đó 
Vậy điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Để chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau
Chọn một điểm cố định thuộc hai mặt phẳng và 
Chứng minh là giao tuyến của hai mặt phẳng và , khi đó đi qua điểm cố định .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình thang với đáy lớn là . Một mặt phẳng quay quanh cắt các cạnh tại các điểm tương ứng .
a) Tìm tập hợp giao điểm của và .
b) Tìm tập hợp giao điểm của và .
Lời giải.
a) Phần thuận:
Ta có , 
.
Trong gọi 
.
.
Giới hạn:
Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến .
Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến .
Phần đảo:
Lấy điểm bất kì thuộc đoạn , trong gọi , trong gọi khi đó là mặt phẳng quay quanh cắt các cạnh tại và là giao điểm của và .
Vậy tập hợp điểm là đoạn .
b) Ta có Nhưng nên .
Khi chạy đến chạy đến thì chạy đến và chạy đến .
Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến .
Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm là đoạn .
Ví dụ 2. Cho tứ diện . Hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh và sao cho . Một mặt phẳng thay đổi luôn chứa , cắt các cạnh và lần lượt tại và .
a) Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp giao điểm của và .
c) Tìm tập hợp giao điểm của và .
Lời giải.
a) Trong gọi thì cố định và 
Lại có Vậy luôn đi qua điểm cố định
b) Phần thuận:
Trong gọi 
.
Gọi 
Giới hạn:
Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến 
Khi Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến 
Phần đảo: 
Gọi là điểm bất kì trên đoạn , trong gọi , trong gọi suy ra là mặt phẳng quay quanh căt các cạnh tại các điểm và .
Vậy tập hợp điểm là đoạn .
c) Gọi .
Mà .
Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến 
Khi Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến 
Từ đó ta có tập hợp điểm là đường thẳng trừ các điểm trong của đoạn .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
1. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và 
b) Gọi là các điểm lần lượt trên các cạnh và . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
2. Cho hình chóp đáy là tứ giác , cắt tại , hai đường chéo và cắt nhau tại . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :
a) và ; và .
b) với các mặt phẳng và .
3. Cho tứ diện , là một điểm thuộc miền trong tam giác , một điểm thuộc miền trong tam giác . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :
a) và .
b) và .
4. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Trên đoạn lấy điểm sao cho .
a) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
5. Cho hình chóp , và là các điểm lần lượt trên các cạnh .
a) Tìm giao điểm của với .
b) Tìm giao điểm của với .
6. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng và cắt nhau tại , là hai điểm nằm ngoài sao cho cắt với . Một mặt phẳng quay quanh cắt và lần lượt tại . 
a) Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định.
b) Gọi , chứng minh thuộc một đường thẳng cố định.
c) Gọi , chứng minh thuộc một đường thẳng cố định.
d) Chứng minh đi qua một điểm cố định.
7. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Trên cạnh lấy điểm sao cho .
a) Xác định giao điểm của đường thẳng với và chứng minh .
b) Xác định giao điểm của đương thẳng với và chứng minh .
c) Chứng minh .
8. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của .
a) Tìm giao điểm của với . Tính .
b) Tìm giao điểm của với và chứng minh là trung điểm của .
9. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác .
a) Tìm giao điểm của với . Chứng minh thảng hàng và .
b) Tìm giao điểm của với . Tính .
c) Tìm giao điểm của với . Tính .
10. Cho mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ở và là đường thẳng cắt tại .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và 
b) Gọi là một điểm trên và không trùng với . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và và chứng minh luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi di động trên .
11. Cho hình chóp có đáy là hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Tìm giao điểm của đường thẳng với 
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
12. Cho hình chóp . Gọi lần lượt là các điểm cố định trên các cạnh và ( không song song với ).
Một mặt phẳng quay quanh cắt tại và cắt tại .
a) Chứng minh các đường thẳng đồng qui
b) Giả sử . Chứng minh thẳng hàng.
c) Gọi . Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi di động.
13. Cho hình chóp . Trên các cạnh lấy các điểm sao cho và không song song với nhau.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
b) Gỉa sử , chứng minh luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi chạy trên cạnh .
14. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và là một điểm trên cạnh sao cho .
a) Tìm giao điểm của đường thẳng với .
b) là một điểm thay đổi trên cạnh . Xác định giao tuyến của và . Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định.
c) Gọi là trọng tâm tam giác . Xác định thiết diện của hình chóp với .
15. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng căt các cạnh bên tương ứng tại các điểm . Gọi là giao điểm của và .
a) Tìm giao điểm của với .
b) Chứng minh .
16. Cho hình chóp . Gọi là hai điểm trên các cạnh và .
a) Tìm giao các điểm của các đường thẳng và với .
b) Giả sử . Chứng minh thẳng hàng.
17. Cho hình chóp có đáy là hình thang với các cạnh đáy là và , . Gọi là trung điểm của , là một điểm trên cạnh với . Gọi là mặt phẳng quay quanh , cắt các cạnh tại . Tìm tập hợp giao điểm của và .
18. Cho tứ diện thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua mỗi đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp của mặt đối diện đồng qui tại một điểm. 
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.
Cho hai đường thẳng và trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với và :
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả và , khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:
 và cắt nhau tại điểm , ta kí hiệu .
 và song song với nhau, ta kí hiệu .
 và trùng nhau, ta kí hiệu .
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả và , khi đó ta nói và là hai đường thẳng chéo nhau.
2. Các định lí và tính chất.
Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với .
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng và có điểm chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song song và thì giao tuyến của và là đường thẳng đi qua song song với và .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và 
Lời giải.
Ta có 
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình thang với các cạnh đáy là và . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và và là trọng tâm của tam giác .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
b) Tìm điều kiện của và để thiết diện của và hình chóp là một hình bình hành.
Lời giải.
a) Ta có là hình thang và là trung điểm của nên .
Vậy 
 với 
 .
b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác .
Do là trọng tâm tam giác và nên 
( là trung điểm của ).
.
Lại có . Vì nên là hình thang, do đó là hình bình hành khi 
.
Vậy thết diện là hình bình hành khi .
Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Phương pháp:
Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:
Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Chứng minh song song với .
b) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh song song với .
Lời giải.
a) Ta có là đường trung bình của tam giác nên .
Lại có là hình thang .
Vậy .
b) Trong gọi , trong gọi .
Ta có .
Vậy . 
Do .
Ta có .
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Biết . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại .
a) Chứng minh song sonng với .
b) Giải sử cắt tại ; cắt tại . Chứng minh song song với và . Tính theo .
Lời giải.
a) Ta có .
Vậy 
Tương tự 
Vậy 
Từ và suy ra .
b) Ta có ;
Do đó . Mà .
Tính : Gọi 
Ta có , 
Mà .
Từ suy ra 
Tương tự . Vậy .
Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Phương pháp:
Để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh song song hoặc cắt nhau, khi đó thuôc .
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được đồng qui.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là một tứ giác lồi. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh bên và .
a) Chứng minh đồng qui ( là giao điểm của và ).
b) Bốn điểm đồng phẳng.
Lời giải.
a) Trong gọi , dễ thấy là trung điểm của , suy ra là đường trung bình của tam giác . 
Vậy .
Tương tự ta có nên thẳng hàng hay .
Vậy minh đồng qui .
b) Do nên và xác định một mặt phẳng. Suy ra đồng phẳng.
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh:
a) Bốn điểm đồng phẳng.
b) Ba đường thẳng đồng qui ( là giao điểm của và ).
Lời giải.
a) Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và .
Ta có 
.
Tương tự 
Lại có 
Từ và suy ra . Vậy bốn điểm đồng phẳng.
b) Dễ thấy cũng là hình bình hành và .
Xét ba mặt phẳng và ta có :
.
Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng đồng qui.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
19. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
20. Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . 
a) Chứng minh .
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
21. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
b) Gọi là một điểm trên cạnh . Xác định giao điểm của với . Tứ giác là hình gì?
c) Giả sử . Chứng minh thuộc một đường thẳng cố định khi chạy trên cạnh .
22. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh .
a) Chứng minh là một hình bình hành.
b) Gọi là một điểm trên cạnh . Xác định thiết diện của hình chóp với . 
23. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là một điểm thuộc cạnh ( khác và ).
a) Xác định thiết diện của tứ diện với .
b) Tìm vị trí của điểm trên sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện và vị trí của điểm trên sao cho thiết diện là hình thoi.
24. Cho tứ diện đều cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của và . 
a) Hãy xác định các điểm và sao cho .
b) Tính theo .
25. Cho hình chóp có đáy là hình thang.Một mặt phẳng cắt các cạnh và lần lượt tại các điểm .
a) Giả sử , . Chứng minh thẳng hàng.
b) Giả sử và . 
Chứng minh .
26. Cho hình chóp có đáy là hình thang với . là một điểm di động trong tứ giác . Qua vẽ các đường thẳng song song với cắt các mặt và lần lượt tại .
a) Nêu cách dựng các điểm .
b) Tìm tập hợp điểm sao cho lớn nhất.
27. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của và nằm bên trong hình chóp.
28. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và , là điểm trên cạnh sao cho . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
29. Cho hình chóp , là một điểm nằm trong tam giác Các đường thẳng qua và song song và cắt các mặt lần lượt tại các điểm .
a) Nêu cách dựng các điểm .