Giáo án Toán 11 - Chủ đề: Tổ hợp – Xác suất

CHỦ ĐỀ: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
TỔ HỢP 
Vấn đề 1. Quy tắc đếm
Phương pháp .
1. Quy tắc cộng 
 a) Định nghĩa: Xét một công việc . 
Giả sử có phương án thực hiện công việc . Nếu có cách thực hiện phương án , có cách thực hiện phương án ,.., có cách thực hiện phương án và mỗi cách thực hiện phương án không trùng với bất kì cách thực hiện phương án () thì có cách thực hiện công việc .
b) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập đôi một rời nhau. Khi đó:
2. Quy tắc nhân.
a) Định nghĩa: Giả sử một công việc bao gồm công đoạn . Công đoạn có cách thực hiện, công đoạn có cách thực hiện, , công đoạn có cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo cách.
b) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập đôi một rời nhau. Khi đó:
.
3. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng
Để đếm số cách thực hiện một công việc nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc H đó có bao nhiêu phương án thực hiện? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn?
4. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân
Để đếm số cách thực hiện công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H được chia làm các giai đoạn và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn ().
Nhận xét: 
1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động thỏa mãn tính chất . Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau
Cách 1: Đếm trực tiếp
 Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
 Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó
 Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Chú ý: * Để đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp ta phải chia hành động trong mỗi trường hợp đó thành phương án hành động nhỏ liên tiếp nhau
Và sử dụng quy tắc nhân, các khái niệm hoán ví, chỉnh hợp và tổ hợp để đếm số phương án thực hiện các hành các hành động nhỏ đó.
* Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:
 +) Tất cả n phần tử đều phải có mặt
 +) Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
 +) Có thứ tự giữa các phần tử.
* Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi 
 +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
 +) phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.
* Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi
 +) Cần chọn phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
 +) Không quan tâm đến thứ tự phần tử đã chọn.
Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:
 Đếm số phương án thực hiện hành động (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất hay không) ta được phương án.
 Đếm số phương án thực hiện hành động không thỏa tính chất ta được phương án.
Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: .
2. Ta thường gặp ba bài toán đếm cơ bản
Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
Khi lập một số tự nhiên ta cần lưu ý:
* và .
* là số chẵn là số chẵn
* là số lẻ là số lẻ
* chia hết cho chia hết cho 
* chia hết cho chia hết cho 
* chia hết cho 
* chia hết cho là số chẵn và chia hết cho 
* chia hết cho chia hết cho 
* chia hết cho chia hết cho .
* chia hết cho tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho .
* chia hết cho hai chữ số tận cùng là .
Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học
Các ví dụ
Ví dụ 1. Từ thành phố đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.
Lời giải.
Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 6 con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 7 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Vậy có cách đi từ thành phố A đến B.
Ví dụ 2. Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?
Lời giải.
Đặt , xét các số trong đó đôi một khác nhau và thuộc tập . Có số như vậy
Khi ta hoán vị trong ta được hai số khác nhau
Nên có số thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam .Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để :
1. 3 học sinh nữ ngồi kề nhau 
2. 2. 2 học sinh nam ngồi kề nhau.
Lời giải.
1. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 
2. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 
Ví dụ 4. Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:
1. A và F ngồi ở hai đầu ghế 
2. A và F ngồi cạnh nhau 
3. A và F không ngồi cạnh nhau
Lời giải.
1. Số cách xếp A, F: 
Số cách xếp : 
Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 
2. Xem là một phần tử , ta có: số cách xếp 
. Khi hoán vị ta có thêm được một cách xếp
Vậy có cách xếp thỏa yêu cầu bài toán.
3. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: cách
Ví dụ 5. Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số .
Lời giải.
Lời giải. Gọi .
Cách 1: Tính trực tiếp
Vì là số chẵn nên .
TH 1: có 1 cách chọn . 
Với mỗi cách chọn ta có 6 cách chọn 
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn 
Với mỗi cách chọn ta có cách chọn 
Suy ra trong trường hợp này có số.
TH 2: có 4 cách chọn d
Với mỗi cách chọn , do nên ta có 5 cách chọn 
.
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn 
Với mỗi cách chọn ta có cách chọn 
Suy ra trong trường hợp này có số.
Vậy có tất cả số cần lập.
Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù)
Gọi { số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số }
{ số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số }
{ số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số }
Ta có: .
Dễ dàng tính được: .
Ta đi tính ?
 là số lẻ có 2 cách chọn.
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn (vì )
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn 
Với mỗi cách chọn ta có 4 cách chọn 
Suy ra 
Vậy .
Ví dụ 6. Cho tập 
1. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
2. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ. 
Lời giải.
Gọi là số cần tìm
1. Vì lẻ và không chia hết cho 5 nên có 3 cách chọn
Số các chọn các chữ số còn lại là: 
Vậy số thỏa yêu cầu bài toán.
2. Vì chữ số đứng đầu chẵn nên có cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên có 4 cách chọn. Các số còn lại có cách chọn
Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 7. Cho tập 
1. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
2. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
Lời giải.
1. Gọi số cần lập , 
Chọn có 6 cách; chọn có 
Vậy có số.
2. Gọi là số cần lập, 
 có 1 cách chọn, cách chọn 
Trường hợp này có 360 số
 có một cách chọn, số cách chọn 
Trường hợp này có 300 số
Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 8. Cho tập hợp số : .Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Lời giải.
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là , , , , , .
Vậy số các số cần lập là: số.
Ví dụ 9. Từ các số của tập có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau.
Lời giải.
Vì có 3 số lẻ là 1,3,5, nên ta tạo được 6 cặp số kép: 
Gọi A là tập các số gồm 4 chữ số được lập từ .
Gọi tương ứng là số các số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số của tập và 13 đứng ở vị trí thứ nhất, thứ hai và thứ ba.
Ta có: nên 
Vậy số các số cần lập là: số.
Ví dụ 10. Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị.
Lời giải.
Cách 1: Gọi là số cần lập
Theo bài ra ta có: (1)
Mà và đôi một khác nhau nên
 (2)
Từ (1), (2) suy ra: 
Phương trình này có các bộ nghiệm là: 
Với mỗi bộ ta có số.
Vậy có cả thảy số cần lập.
Cách 2: Gọi là số cần lập
Ta có: 
. Do 
Suy ra ta có các cặp sau: 
Với mỗi bộ như vậy ta có cách chọn và cách chọn 
Do đó có: số thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 11.Từ các số lập được bao nhiều số tự nhiên gôm chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau
1. Trong mỗi số, mỗi chữ số có mặt đúng một lần
2. Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.
Lời giải.
Đặt . Gọi là tập các số thỏa yêu cầu thứ nhất của bài toán
Ta có số các số thỏa điều kiện thứ nhất của bài toán là (vì các số có dạng và khi hoán vị hai số ta được số không đổi)
Gọi là tập các số thuộc mà có cặp chữ số giống nhau đứng cạnh nhau.
 Số phần tử của chính bằng số hoán vị của 3 cặp nên 
 Số phần tử của chính bằng số hoán vị của 4 phần tử là có dạng nhưng không đứng cạnh nhau. Nên phần tử.
 Số phần tử của chính bằng số hoán vị của các phần tử có dạng nhưng và không đứng cạnh nhau nên 
Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán là: .
Ví dụ 12 Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà mỗi số chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số .
Lời giải. 
Đặt là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
{ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}
Với mỗi số thuộc A có chữ số thì ta có thể bổ sung thêm số vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng 
mà trong không có chữ số 9}
 mà trong có đúng 1 chữ số 9}
 Ta thấy tập A có phần tử 
 Tính số phần tử của 
Với và với . Từ đó ta suy ra có phần tử
 Tính số phần tử của 
Để lập số của thuộc tập ta thực hiện liên tiếp hai bước sau
Bước 1: Lập một dãy gồm chữ số thuộc tập và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là 
Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9
Do đó có phần tử.
Vậy số các số cần lập là: 
.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 
1. Bạn cần mua một áo sơ mi cỡ 30 hoặc 32. Áo cỡ 30 có 3 màu khác nhau, áo cỡ 32 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách lựa chọn ?
2. Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 11 cuốn sách Văn khác nhau và 7 cuốn sách anh văn khác nhau. Một học sinh được chọn một quyển sách trong các quyển sách trên. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn.
3. Có bao nhiêu cách xếp cuốn sách Toán, cuốn sách Lý và cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau .
Bài 2
1. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người.
2. Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội thì gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra .
3. Từ thành phố A có 10 con đường đi đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đi đến thành phố C, từ B đến D có 6 con đường, từ C đến D có 11 con đường và không có con đường nào nối B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D.
4. Hội đồng quản trị của công ty X gồm 10 người. Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra ba người vào ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí, biết khả năng mỗi người là như nhau.
 Bài 3
1. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho : 
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? 
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau ? 
c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau ?
2. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau : 
a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. 
b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.
 Bài 4
 1. Cho các chữ số 1, 2, 3,..., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số
 a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau 
 b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và không vượt quá 2011.
2. Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau.
3. Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
Bài 5 Từ các số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là:
 1. Số chẵn	 2. Số lẻ
 3. Số chia hết cho 5	 4. Tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối.
Bài 6 Cho tập 
1. Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3
2. Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123.
Vấn đề 2. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp 
Phương pháp .
1. Giai thừa
 a) Định nghĩa: Với mọi số tự nhiên dương, tích được gọi là - giai thừa và kí hiệu . Vậy .
 Ta quy ước .
 b) Tính chất: 
. 
2. Hoán vị
a) Định nghĩa: Cho tập gồm phần tử (). Khi sắp xếp phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A.
Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là .
b) Số hoán vị của tập n phần tử: 
Định lí: Ta có 
3. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên với . Khi lấy phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập của phần tử của A.
b) Số chỉnh hợp
Kí hiệu là số chỉnh hợp chập của phần tử
Định lí: Ta có .
4. Tổ hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
b) Số tổ hợp
Kí hiệu là số tổ hợp chập k của n phần tử.
Định lí: Ta có: .
Bài toán 01: Giải phương trình – Bất phương trình 
Phương pháp: Dựa vào công thức tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số.
Các ví dụ
Ví dụ 1 
1. Cho . Tính 
2. Tính , biết 
3. Tính , biết .
Lời giải.
1. ĐK: 
Ta có: 
Khi đó: 
2. Ta có: ; ;...; 
Nên 
.
3. Điều kiện: 
Ta có: 
Do đó: .
Ví dụ 2 Giải các phương trình sau
1. . 	2. 
Lời giải.
1.. Điều kiện: 
Ta có: 
 Với phương trình vô nghiệm
 Với phương trình vô nghiệm
Vậy là nghiệm duy nhất.
2. Điều kiện: 
Phương trình 
.
Ví dụ 3. Tìm biết:
1. 
2. 
3. 
Lời giải.
1. Ta có: 
Suy ra: 
Suy ra 
Từ đó ta tìm được .
2. Ta có nên ta có 
3. Đặt 
Ta có: 
Nên 
Vậy .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm số nguyên dương sao cho:
1. 
2. 
3. 
Bài 2 Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) 
1. 
3. 
5. 
2. 
4. 
6. 
Bài 3 Giải các phương trình sau:
1. 
3. 
4. 
6. 
8. 
2. 
5. 
7. 
9. 
Bài 4 Giải các phương trình sau:
1. 
2. 
Bài 5 Giải các bất phương trình sau:
1. 
2. 
Bài toán 02: Bài toán đếm
Phương pháp: Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. 
1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:
 Tất cả n phần tử đều phải có mặt