Giáo án Đại số Lớp 11 - Chủ đề 3: Cấp số cộng

Chủ đề 3. CẤP SỐ CỘNG
Trong toán học, một cấp số cộng là một dãy số thoả mãn điều kiện: hai phần tử liên tiếp nhau sai khác nhau một hằng số. Chẳng hạn, dãy số 3, 5, 7, 9, 11,... là một cấp số cộng với các phần tử liên tiếp sai khác nhau hằng số 2. Hằng số sai khác chung được gọi là công sai của cấp số cộng. Các phần tử của nó cũng được gọi là các số hạng.
Thời lượng dự kiến: 3 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức: Học sinh nắm được: 
- Định nghĩa cấp số cộng: xác định công sai, số hạng đầu và số hạng tổng quát của cấp số cộng.
- Cách tính tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
- Một số tính chất của cấp số cộng
2. Kỹ năng: 
- Sau khi học xong bài này, học sinh cần tính được các số hạng, công sai của cấp số cộng.
- Giải được một số dạng toán về cấp số cộng và các bài toán thực tế.
3. Thái độ:
- Tự giác tích cực trong học tập.
- Biết phân biệt rõ các khái niện cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể.
- Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. 
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng 
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
A
Mục tiêu: Tạo tình huống có vấn đề cần giải quyết.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Giáo viên kể một mẩu chuyện về nhà toán học Gauss giúp cha làm nghề kế toán và một mẩu chuyện tính tổng 
khi Gauss còn ở tiểu học.
Nhà toán học Gauss (1777 - 1855)
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
B
Mục tiêu: Giúp học sinh hình thành định nghĩa cấp số cộng. HS biết chứng minh một dãy số cho trước là cấp số cộng; xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng; tính tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Học sinh biết được tính chất các số hạng của cấp số cộng, từ đó giải quyết một số bài toán liên quan đến cấp số cộng.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Ví dụ 1: Cho dãy số thỏa mãn :
.
Nhận xét về khoảng cách giữa hai số hạng liền nhau của dãy.
1. Định nghĩa : Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với số không đổi.
Số được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu là cấp số cộng với công sai , ta có công thức truy hồi	
Đặc biệt: Khi thì cấp số cộng là dãy số không đổi.
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có ,. Viết 6 số hạng đều tiên của cấp số cộng.
Ví dụ 3: Chứng minh dãy số: là một cấp số cộng, tìm công sai.
Ví dụ 4: Chứng minh dãy số: với 
 là cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công sai.
* Chú ý: Để cm một dãy số là cấp số cộng ta xét hiệu . 
+ Nếu kết quả là một hằng số thì ta kết luận dãy số đó là 1 cấp số cộng với công sai d chính là hàng số vừa tìm được. 
+ Nếu kết quả không phải 1 hằng số ta kết luận dãy số không phải 1 cấp số cộng.
HS trả lời :
.
Hai số hạng liên tiếp cách nhau 5 đơn vị.
là cấp số cộng 
HS viết được 6 số hạng đầu của cấp số cộng
.
* Xét hiệu . Do đó dãy số dã cho là một cấp số cộng có công sai.
 * Xét hiệu 
Do đó dãy số dã cho là một cấp số cộng có số hạng đầu , công sai.
2. Số hạng tổng quát
Ví dụ 5 : Bạn Hoa xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân như hình vẽ :
	 1 tầng 2 tầng 3 tầng
Hỏi nếu tháp có 5 tầng thì cần bao nhiêu que diêm xếp tầng đế của tháp?
Hỏi nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm xếp tầng đế của tháp?
Định lý 1: Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức:	 với .
Ví dụ 6: Cho CSC (un) với 
a) Tìm u15.
b) Số hạng 100 là số hạng thứ mấy ??
c) Biểu diễn các số hạng lên trục số. Nhận xét về vị trí của ba điểm liền kề.
Xếp 1 tầng cần 3 que xếp đế tháp
Xếp 2 tầng cần 7 que xếp đế tháp
Xếp 3 tầng cần 11 que xếp đế tháp
Xếp 4 tầng cần 15 que xếp đế tháp
Xếp 5 tầng cần 19 que xếp đế tháp
Giả sử để xếp tầng thì cần que xếp tầng đế, khi đó ta có:	 
HS kết luận công thức tổng quát của cấp số cộng khi biết số hạng đầu và công sai.
a) 
b) Þ 
Số 100 là số hạng thứ 13.
u1
u2
u3
u5
u4
-5
 1
7
c) 
Nhận xét mỗi điểm u2, u3, u4 so với hai điểm liền kề bên cạnh.
Ta có u3 là trung điểm đoạn u2u4 hay .
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.
Định lý 2: Cho cấp số cộng . Khi đó 
	.
Nhận xét : Điều kiện cần và đủ để 3 số tạo thành một CSC.
là CSC Û .
HS viết thành tổng của số hạng lền trước và công sai.
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
HĐ 4 SGK trang 96
Viết các số hạng theo thứ tự ngược lại và nhận xét về tổng các số hạng ở mỗi cột.
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
–1
3
7
11
15
19
23
27
27
23
19
15
11
7
3
-1
26
26
26
26
26
26
26
26
Định lý 3: Cho cấp số cộng . Đặt . Khi đó 
Ví dụ 6: Cho dãy số với.
a) Chứng minh dãy là một cấp số cộng. Tính và .
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu.
c) Biết. Tìm.
Giải quyết bái toán ban đầu : Tính tổng
.
HS điền vào bảng 
HS tính tổng và so sánh với .	
Rút ra kết luận .
 HS tổng quát hóa cho : .
a) Þ là một cấp số cộng với .
b) = 3775.
c) .
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
C
Mục tiêu: Thực hiện được các dạng bài tập cơ bản trong SGK .
Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi và tính toán. Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng áp dụng kiến thức vào các dạng bài toán khác.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài 1 : Cho cấp số cộng biết số hạng đầu , công sai . 
a) Tìm số hạng thứ 17 của cấp số cộng.
b) Số 318 là số hạng thứ bao nhiêu?
a) Áp dụng công thức
 với 
suy ra:	 
b) Giả sử 318 là số hạng thứ n, khi đó:
.
Bài 2: Cho cấp số cộng có 7 số hạng biết tổng số hạng thứ 3 và số hạng thứ năm bằng 28, tổng số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó? 
 Ta có : ;
Bài 3: Một công ty trả lương cho anh A theo phương thức sau: Mức lương quý đầu tiên là 4,5 triệu đồng/ quý. Kể từ quý tiếp theo, mỗi quý được tăng thêm 0,3 triệu đồng. Hỏi tổng số tiền lương anh A nhận được sau 3 năm làm việc.
Gọi là mức lương ở quý thứ thì:
.
 (triệu đồng).
Bài 4: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng chuông, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ ?
Số tiếng chuông từ 0 giờ đến 12 giờ là một cấp số cộng có và .
Tính tổng .
Bài 5 : Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau:
 a) (I) 	b)
Sử dụng công thức .
a) (I)Û 
 Û.
b) Ta có hệ sau .
 Giải hệ ta được nghiệm u1 = 3 và d = 2 hoặc u1 = - 17 và d = 2.
Bài 6 : Ba góc A, B, C của tam giác vuông ABC theo thứ tự lập thành CSC. Tính 3 góc đó.
Giả sử A B C, ta có: 
.
Bài 7: Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng 
a) Hãy viết hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại ?
b) Lập bảng theo mẫu và điền số vào ô thích hợp. (Bảng xem sgk trang 97).
Hs thảo luận và trình bày.
Để xác định các yếu tố còn lại ta cần biết ít nhất ba trong năm yếu tố 
u1
d
un
n
Sn
-2
3
55
20
530
36
-4
-20
15
120
3
7
28
140
-5
2
17
12
72
2
-5
10
-43
-205
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG
D,E
Mục tiêu: Học sinh vận dụng kiến thức về cấp số cộng để giải quyết một số bài toán thực tế.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
 Bài toán 1: 
 Khi ký hợp đồng dài hạn với các kỹ sư được tuyển dụng, công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn, cụ thể:
 Phương án 1: 
 Người lao động sẽ nhận được 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, kể từ năm làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 3 triệu đồng mỗi năm.
 Phương án 2: 
 Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, kể từ quý thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500 000 đồng mỗi quý.
Nếu em là người ký hợp đồng lao động với công ty liên doanh A thì em sẽ chọn phương án nào?
CÔNG TY LIÊN DOANH A
Gọi là số năm ký hợp đồng làm việc với công ty A ( )
Nếu ký hợp đồng theo phương án 1 thì tổng số tiền lương nhận được trong năm là:
 (triệu đồng)
Nếu ký hợp đồng theo phương án 2 thì tổng số tiền lương nhận được trong năm là:
 (triệu đồng)
Xét 
Vậy nếu làm việc không quá 3 năm thì lựa chọn theo phương án 1, nếu làm việc trên 3 năm thì lựa chọn phương án 2.
 Bài toán 2: 
Dân số nước ta năm 2008 là 84 triệu người, (đứng thứ 13 trên thế giới), bình quân dân số tăng 1 triệu người/ năm (bằng dân số 1 tỉnh). Với tốc độ tăng dân số như thế, năm 2020 dân số nước ta là bao nhiêu? Dự đoán đến năm nào thì dân số nước ta đạt mốc 1 tỷ người?
Theo giả thiết thì tốc độ tăng dân luôn ổn định đều qua các năm. Do vậy số dân hằng năm lập thành một cấp số cộng với công sai triệu, triệu. Nên dân số năm 2020 là triệu.
Theo dự đoán dân số nước ta được 1 tỉ người khi 
Như vậy dân số nước ta được 1 tỷ vào năm 2924.
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT
1
Câu 1 : Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số là một cấp số cộng: .
B. Dãy số là một cấp số cộng:.
C. Dãy số :là cấp số cộng .
D. Dãy số: không phải là một cấp số cộng.
Lời giải
Chọn B.
 Dãy số không phải cấp số cộng do .
Câu 2 : Cho một cấp số cộng có . Hãy chọn kết quả đúng
A. Dạng khai triển : 	B. Dạng khai triển : 
C. Dạng khai triển : 	D. Dạng khai triển: 
Lời giải
Chọn D.
THÔNG HIỂU
2
Câu 3 : Cho một cấp số cộng có . Tìm ?
A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải
Chọn C.
 Ta có: 
Câu 4 : Cho một cấp số cộng có Tìm ?
A. .	B.. 	C. . 	D. . 
Lời giải
Chọn A.
 Ta có: 
Câu 5 : Cho cấp số cộng có: . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C.
 Số hạng tổng quát của cấp số cộng là: 
Câu 6 : Cho cấp số cộng có: . Khẳng định nào sau đây là đúng? 
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6. 	B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5	.D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.	 
Lời giải
Chọn B.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là: . 
Giả sử tồn tại sao cho (loại). Tương tự số 0,6
Câu 7 : Cho cấp số cộng có: . Khẳng định nào sau đây là sai? 
A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.	B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.
C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6.	D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: 
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là: 
Câu 8 : Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A.
Khi đó 
Câu 9 : Viết 4 số hạng xen giữa các số và để được cấp số cộng có 6 số hạng.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B.
 Ta có .
Câu 10 : Cho dãy số với : . Khẳng định nào sau đây là sai? 
A. 3 số hạng đầu của dãy:. 	B. Số hạng thứ n + 1:.
C. Là cấp số cộng có d = – 2. 	D. Số hạng thứ 4: .
Lời giải
Chọn B.
Thay đáp án A, D đúng
 suy ra đáp án B sai
Câu 11 : Cho dãy sốvới :. Khẳng định nào sau đây là đúng? 
A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. 	B. Số hạng thứ n + 1:. 
C. Hiệu :. 	D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: Đáp án C đúng.
Câu 12 : Cho dãy số với : . Khẳng định nào sau đây là sai? 
A. Là cấp số cộng có d = – 2.	B. Là cấp số cộng có d = 2.
C. Số hạng thứ n + 1:.	D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là:
Lời giải
Chọn A.
Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai.
 Thật vậy đáp án A sai.
Câu 13 : Cho dãy số có:. Khẳng định nào sau đây là đúng? 
A. .	B. .
C. . 	D. .
Lời giải
	Chọn C.
	Sử dụng công thức SHTQ Ta có: 
Câu 14 : Cho dãy số có:. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải.
	Chọn C.
	Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: 
	Tính được: 
Câu 15 : Cho dãy số có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
	Chọn A.
	Ta có: 
Câu 16 : Cho dãy số có Tính ?
A. 	B..	C. .	D. 
Lời giải
	Chọn D.
	Ta có : . Suy ra chọn đáp án D.
Câu 17 : Cho dãy số có Tính số các số hạng của cấp số cộng?
A..	B. .	C. .	D. .
Lời giải
	Chọn D
	Ta có: 
	Do .
Câu 18 : Cho dãy số có . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng.
C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng.
D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng.
Lời giải
	Chọn B.
	Ta có: 
	Do . Suy ra chọn đáp án B.
Câu 19 : Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu , công sai d, ?
A. .	B.	C. 	D. .
Lời giải
	Chọn D.
	Công thức số hạng tổng quát : , .
Câu 20 : Xác định để 3 số : theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của .	B. .
C..	D. .
Lời giải :
	Chọn C.
Ba số : lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
 suy ra chọn đáp án C.
Câu 21 : Xác định để 3 số : theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A..	B. .
C. .	D. Không có giá trị nào của .
Lời giải
	Chọn B.
	Ba số : theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
	. Suy ra chọn đáp án B.
Câu 22 : Xác định để 3 số : theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của .	B..
C. 	D..
Lời giải
	Chọn A.
	Ba số : theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 
	. PT vô nghiệm
	Suy ra chọn đáp án A.
VẬN DỤNG
3
Câu 23 : Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
	Chọn B.
	a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
	.
	Suy ra chọn đáp án B.
Câu 24 : Cho theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
	Chọn C.
	theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
Câu 25: Cho theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
	Chọn B.
	Ta có theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 
	 lập thành một cấp số cộng
Câu 26 : Cho cấp số cộng có . Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
	Chọn C.
	Ta có : . Suy ra chọn đáp án C
Câu 27 : Cho cấp số cộng có. Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
A. S = 24.	B. S = –24.	C. S = 26.	D. S = –25.
Lời giải
	Chọn A.
	Sử dụng kết quả bài 17. Tính được . 
Câu 28 : Cho cấp số cộng có . Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. .	B..	C. 	D. .
Lời giải
	Chọn B.
	Ta có : . Suy ra chọn B.
Câu 29 : Cho cấp số cộng có . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
A. S20 = 200	B. S20 = –200	C. S20 = 250	D. S20 = –25
Lời giải
	Chọn C.
	Sử dụng kết quả bài 17. Tính được .
Câu 30 : Cho cấp số cộng có . Tìm ?
A. . B. .	C. . D..
Lời giải
 Chọn C. 
Áp dụng công thức ta có .
Câu 31 : Cho cấp số cộng: Tìm và tổng của 20 số hạng đầu tiên?
A..	B. .	
C. .	D. . 
 Lời giải
 Chọn B. 
Ta có nên .
Áp dụng công thức , ta có .
Câu 32 : Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o. Tìm 2 góc còn lại?
A. 65o ; 90o.	B. 75o ; 80o.	C. 60o ; 95o.	D. 60o ; 90o.
 Lời giải
 Chọn D. 
Ta có :.
Vâỵ 
Câu 33 : Cho tứ giác biết góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc bằng 30o. Tìm các góc còn lại?
A. 75o ; 120o; 165o.	B. 72o ; 114o; 156o.	C. 70o ; 110o; 150o.	D. 80o ; 110o; 135o.
 Lời giải
 Chọn C. 
Ta có: .
Vậy .
Câu 34 : Cho dãy số : Khẳng định nào sau đây sai?
A. (un) là một cấp số cộng.	B. có . 
C. Số hạng .	D. Tổng của số hạng đầu tiên là .
 Lời giải
 Chọn C. 
Ta có . Vậy dãy số trên là cấp số cộng với công sai .
Ta có .
Câu 35 : Cho dãy số có . Khẳng định nào sau đây đúng? 
A. (un) là cấp số cộng có u1 = .	B. (un) là cấp số cộng có u1 = .
C. (un) không phải là cấp số cộng.	D. (un) là dãy số giảm và bị chặn.
 Lời giải
 Chọn B. 
Ta có và .
Câu 36 : Cho dãy số có . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Các số hạng của dãy luôn dương.	B. là một dãy số giảm dần.
C. là một cấp số cộng.	D. bị chặn trên bởi M = .
 Lời giải
 Chọn C. 
Ta có . nên dãy số không phải là cấp số cộng.
Câu 37 : Cho dãy số (un) có . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Là cấp số cộng có 	B. Số hạng thứ n+1: 
C. Hiệu 	D. Không phải là một cấp số cộng.
 Lời giải
 Chọn A. 
Ta có Vậy dãy số trên không phải cấp số cộng.
VẬN DỤNG CAO
4
V. PHỤ LỤC
PHIẾU HỌC TẬP
1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
VÀI NÉT SƠ LƯỢC TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC GAU – XƠ (GAUSS)
Nhà toán học người Đức Gauss (1777 - 1855) được mệnh danh là "ông hoàng của các nhà toán học". Các công trình của ông rộng khắp các lĩnh vực trong toán học, thiên văn học, vật lý, trắc địa... và có ảnh hưởng sâu sắc đối với sự phát triển của toán học và nhiều ngành khoa học khác. Ông được xếp ngang hàng cùng Archimede, Euler và Newton, những nhà toán học vĩ đại nhất của nhân loại.
Toán học ở Châu Âu đã phục hồi và nhanh chóng phát triển từ thời kỳ Phục hưng. Sự phát triển nhanh chóng của toán học ở giai đoạn này, cùng với sự phát triển của các ngành khoa học khác nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển kinh tế và khoa học kỹ thuật của Châu Âu. Thế kỷ XVII chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy của các ý tưởng toán học và khoa học trên toàn Châu Âu. Đến thế kỷ XIX, toán học ngày càng trở nên trừu tượng hơn. Có thể nói chính Gauss là bước tiếp nối và phát triển những thành tựu vĩ đại của khoa học trước đó.
Từ nhỏ, ông đã là một thần đồng. Giai thoại kể rằng lúc đang học tiểu học, ông đã giải bài toán tính tổng các số từ 1 đến 100 chỉ mất vài giây. Lúc học trung học, ông đã khám phá ra một số định lý toán học. Nổi tiếng nhất là bài toán vẽ đa giác đều 17 cạnh chỉ bằng thước kẻ và compa, một bài toán làm đau đầu các nhà toán học trong hơn 2.000 năm.
 Ông là người đặt nền móng cho bộ môn Lý thuyết số với những công trình: đồng dư, nghịch đảo toàn phương, định lý số nguyên tố, nghiệm của đa thức... Ông đóng góp cho đại số các công trình Định lý cơ bản của đại số. Ông góp phần phát triển số phức nhằm hoàn thiện dần môn đại số như ngày nay. Ông cũng là người tuyên bố đã khám phá ra hình học phi Euclide.
 Gauss là người cẩn thận trong khoa học, tự trọng trong đời sống và là người có sức làm việc phi thường. Ông chỉ cho đăng các công trình của mình sau khi nó được hoàn thiện kỹ càng, qua phản biện và được khẳng định về tính đúng đắn của khoa học. Chính vì điều này mà sau khi ông mất, người ta tìm thấy rất nhiều ghi chép khoa học của ông chưa được công bố. Khẩu hiệu của ông là "ít nhưng chắc chắn". Phải chăng đó là nguyên nhân mà ông không công bố công trình hình học phi Euclide? Nhà viết sử Bell năm 1937 đã ước đoán rằng, nếu Gauss xuất bản hết mọi công trình của ông từ lúc ông còn sống thì toán học đã có thể tiến nhanh hơn 50 năm. Thật đáng kinh ngạc về đóng góp của cá nhân ông đối với nhân loại! 
 Ông được nhận tước hiệu Công tước với mức lương cao. Vì nhiều lý do, trong đó có việc ông đánh giá những đóng góp của mình cho toán học không xứng được chu cấp nhiều như vậy, nên ông đã chuyển sang ngành thiên văn học. Ông làm việc với chức danh Giám đốc Đài Thiên văn Đại học Gottingen từ năm 1807 đến hết đời. Từ đó, ông tiếp tục đóng góp công sức của mình trong lĩnh vực thiên văn học, quang học, từ học... Với toán học, ông tiếp tục khám phá ra hình vi phân, sai số... ông cũng là người thầy của nhiều nhà khoa học tài năng.
 Thành tựu khoa học vĩ đại của Gauss đã được nhân loại ghi nhận. Tên ông được đặt cho một hố trên bề Mặt Trăng. Ảnh ông được in trên mặt đồng tiền của Đức. Giải thưởng Gauss được thành lập năm 2006, dành tặng cho những thành tựu toán học ứng dụng vào các ngành khác và cuộc sống. Tại Canada, cuộc thi toán cho học sinh trung học mang tên ông. 
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ
2
Nội dung
Nhận thức
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao
Cấp số cộng
Nắm chắc định nghĩa cấp số cộng.
Tính chất cấp số cộng. Số hạng tổng quát của cấp số cộng, công thức tính tổng cấp số cộng.
- Chứng minh dãy số là cấp số cộng.
- Tính các số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
Tính một số yếu tố của cấp số cộng khi đã biết một số yếu tố khác.