Bài giảng Toán 11 - Chương III, Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc - Năm học 2022-2023 - Đỗ Anh Tuấn

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
Tiết 30-31 
1. Góc giữa hai vectơ trong không gian 
A 
B 
C 
Lấy một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho 
. 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
I. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian 
Định nghĩa 
v 
 là góc giữa hai vectơ và trong không gian. 
u 
Trong không gian, cho và là hai vectơ khác . 
u 
v 
0 
AC 
= 
v 
AB 
= 
u 
 , . Khi đó ta gọi góc 
Kí hiệu: ( , ). 
u 
v 
 Ví dụ . Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Tính góc giữa các cặp vectơ sau: 
. 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
AC 
a. và 
BC 
AB 
b. và 
AC’ 
A 
B 
C 
D 
A’ 
B’ 
C’ 
D’ 
2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian 
. 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
I. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian 
Định nghĩa 
Trong không gian cho hai vectơ và khác vectơ-không. 
Nếu hoặc ta quy ước 
Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Tính góc giữa hai vectơ . 
và 
BC 
OM 
A 
B 
C 
O 
M 
Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Tính góc giữa hai vectơ . 
và 
BC 
OM 
A 
B 
C 
O 
M 
Giải: 
Ta có: 
1 
1 
1 
Tính : 
Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Tính góc giữa hai vectơ . 
và 
BC 
OM 
A 
B 
C 
O 
M 
Giải: 
Ta có: 
So sánh: 
1 
1 
1 
Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Tính góc giữa hai vectơ . 
và 
BC 
OM 
A 
B 
C 
O 
M 
Giải: 
Ta có: 
Mặt khác: 
Nhận xét: 
Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Tính góc giữa hai vectơ . 
và 
BC 
OM 
A 
B 
C 
O 
M 
Giải: 
Ta có: 
Mặt khác: 
Hay: 
Do: 
2. Nhận xét 
II. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 
 Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với . 
 Nếu là vectơ chỉ phương của thì cũng là một vectơ chỉ phương của . 
1. Định nghĩa 
 Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định khi biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó. 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
u 
v 
. 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
III. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian 
1. Định nghĩa 
 Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ , b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . 
a 
b’ 
a’ 
b 
. 
O 
đường thẳng a và b bằng nếu 0 0 90 0 và bằng 180 0 - nếu 90 0 < 180 0 . Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 0 . 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
III. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian 
2. Nhận xét 
 Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và là vectơ của đường thẳng b và thì góc giữa hai 
u 
v 
v 
u 
( , ) = 
a 
b 
 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và 
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . 
 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và 
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . 
 Ta có 
 Giải: 
 Xét tam giác ABC ? 
 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và 
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . 
 Ta có 
 Giải: 
 Do 
 suy ra 
 Nhận xét gì về tam giác SAB? 
 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và 
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . 
 Ta có 
 Giải: 
 Do 
 suy ra 
 Mặt khác: Tam giác SAB đều 
nên 
 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và 
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . 
 Ta có 
 Giải: 
 Do 
 suy ra 
 Mặt khác: Tam giác SAB đều, nên 
 Vậy: góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 60 0 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
IV. Hai đường thẳng vuông góc 
1. Định nghĩa 
 Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0 . 
 Kí hiệu: a  b . 
 Nếu và lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường 
2. Nhận xét 
thẳng a và b thì: 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
IV. Hai đường thẳng vuông góc 
1. Định nghĩa 
 Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0 . 
 Kí hiệu: a  b . 
 Nếu và lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường 
2. Nhận xét 
thẳng a và b thì: 
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc. 
Ta có: 
Để chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc 
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc. 
Giải : 
Xét quan hệ giữa và 
Ta có: 
Biểu thị qua 
qua 
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc. 
Giải : 
Ta có: 
Ta có: 
Vậy: 
BÀI TẬP 
Bài 1 . Cho tứ diện ABCD . 
 b. Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB  CD và AC  DB thì AD  BC . 
a. Chứng minh rằng 
Bài 2 . Cho hình chóp tam giác S . ABC có và 
Chứng minh rằng 
Bài 3 . Cho S là diện tích ABCD . Chứng minh rằng: 
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có 
và bằng 60 0 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng: AB  CD , MN  AB , MN  CD .