Giáo án Đại số Lớp 11 - Chủ đề: Giới hạn của hàm số

Chủ đề : GIỚI HẠN HÀM SỐ
Thời lượng dự kiến: 4 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Học sinh biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số.
- Học sinh hiểu được định lí về giới hạn hữu hạn, định lí về giới hạn một bên, một vài giới hạn đặc biệt và các quy tắc về giới hạn vô cực.
2. Kĩ năng
-Học sinh biết cách tính giới hạn hàm số tại một điểm, tính giới hạn hàm số tại vô cực
- Học sinh phân biệt được các dạng vô định của giới hạn hàm số.
3.Về tư duy, thái độ	
-Tích cực, chủ động và hợp tác trong hoạt động nhóm.
- Say mê hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn.
-Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xâydựng cao.
4.Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: 
- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng động cơ, thái độ học tập, tự đánh giá và điều chinh kế hoạch học tập, tự nhận ra được sai sót và khắc phục sai sót.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi, các bài tập. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.
-Năng lực tự quản lý: Làm chủ các cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập và trong cuộc sống, trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên trong nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành nhiệm vụ được giao. 
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức , trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm, có thái độ tôn trọng , lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, nhiệm vụ của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình, nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ toán học.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên:
+Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học. 
+Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề.
+Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài, Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng 
+Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập. Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm sau khi đã thảo luận và thống nhất. Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn. Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
A
Mục tiêu: Giúp học sinh biết phối hợp, giúp đỡ nhau trong hoạt động nhóm; gợi nhớ lại kiến thức xác định giá trị của một hàm số khi biết giá trị của biến; tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
1.Em có nhận xét gì về hình ảnh sau? 
2. em có nhận xét gì về giá trị hàm số khi x dần đến 2?
3.
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
* Giới hạn cho ta một dự đoán chắc chắn về giá trị hàm số khi biến tiếp cận một đại lượng nào đó: “Giới hạn của hàm số”
Khi x→a, fx→?
f(x)→4
An rõ ràng không thể bắt Bình nhảy ngay tới B vì Bình sẽ chết, không lẽ An muốn Bình chết, đúng không? Tuy nhiên, để chứng minh khả năng của mình mà không bị chết, Bình có thể nhảy tới điểm gần B bao nhiêu cũng được, miễn sao không chạm vào B. Gần bao nhiêu thì tùy An chọn!
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
B
HTKT 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. 
Định nghĩa 1.
Mục tiêu: Học sinh biết được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Áp dụng để tính được giới hạn hàm số tại một điểm.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành câu hỏi số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành câu hỏi số 2. Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ. 
 Xét hàm số .
Cho biến những giá trị khác nhau lập thành dãy số như trong bảng sau. Tính các giá trị của 
 1
.
 ?
Ta thấy rằng tương ứng với các giá trị của dãy là các giá trị cũng lập thành dãy ký hiệu là 
	+ Tìm giới hạn dãy số .
Với mọi dãy số sao cho, thì dãy số tương ứng có giới hạn bằng bao nhiêu ?
* Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi. Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và dẫn dắt học sinh hình thành khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số.
Ví dụ 1 . Cho hàm số . Chứng minh rằng 
4;3;83;52;... ; 2n+2n
=2
1. Định nghĩa:
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0 }. Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x→x0 nếu với dãy số ((xn) bất kì, xn∈K{ x0 } và xn→x0 ta có
 f(xn)→L
 KÍ HIỆU: . Hay f(x) ® L khi x ® x0.
Nhận xét: ; 
Hàm số xác định trên 
Giả sử là một dãy số bất kỳ, thảo mãn và khi 
Ta có:
2.Định lí về giới hạn hữu hạn
Mục tiêu: Học sinh biết được nội dung định lí 1. Thông quá đó biết áp dụng nội dung định lí vào để tính giới hạn tại một điểm. 
Câu hỏi 1. Tính .
Câu hỏi 2. Tính I+J. Biết , 
So sánh giá trị của M và I+J?
Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu hỏi 
Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, Giáo viên đưa ra nội dung định lí 1.
Tính các giới hạn sau:
1. 2. 
3. 	4. 
5. 
Vậy M = I+J
Định lí 1:
	 a) Nếu và thì: 
 (nếu M ¹ 0)
	b) Nếu f(x) ³ 0 và thì L ³ 0 và 
 c) Nếu thì 
1. 7, 2. 11, 3. , 4. 1 , 5.16
 3. Giới hạn một bên
* Mục tiêu: Học sinh hiểu được định nghĩa giới hạn một bên và nội dung định lí 2
Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau 
1.Em nhận xét gì về hai hình ảnh trên? (Hình ảnh hàng người chạy (theo 1 hướng) về đích) 
2. Cho hàm số , để tính giới hạn của hàm số trên ta làm thế nào?
Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu Định nghĩa 2, Định lí 2
* Trả lời các câu hỏi trắc nghiệm sau .
Câu 1. Cho hàm số: , tìm 
A. B. 	C. D. 
Câu 2. Cho hàm số , tìm .
A. B. 	 C. D. 
1.Cùng chạy về một đích, cùng một hướng nhưng thời gian về đích mỗi đội có thể nhanh hơn hoặc chậm hơn thời gian quy định.
2.Ta phải tính giới hạn của hàm số khi x lớn hơn 1 hoặc bé hơn 1. 
*Định nghĩa 2: 
Cho hàm số xác định trên khoảng với mọi dãy số mà ta có 
Cho hàm số xác định trên khoảng với mọi dãy số mà ta có 
Ký hiệu .
 Định lý2.
•
Câu 1: B
Câu 2: C
HTKT 2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. 
* Mục tiêu: Học sinh biết định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Câu hỏi :Cho hàm số có đồ thị như hvẽ 
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong bảng
 ......
......
PHIỂU HỌC TẬP SỐ 2
 Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong bảng
 ......
.....
Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập.
Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.
Ví dụ 1: Cho hàm số .
 Tìm và .
 H: Tìm tập xác định của hàm số trên ?
Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, 
? ?
H: Khi hoặc thì có nhận xét gì về định lý 1 ?
Tổ chức học sinh làm các ví dụ 2,3,4,5?
Ví dụ 2: Tìm 
Ví dụ 3: 
Ví dụ 4:
Ví dụ 5:
sát nhận xét bài làm các nhóm. Chốt cách tìm giơi hạn của hàm số dạng vô định 
a.Định nghĩa 3 : 
Cho là một khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên hoặc trên với mọi dãy số mà ta có 
Ký hiệu 
Ví dụ 1:
Hàm số đã cho xác định trên (- ; 1) và trên (1; +).
Giả sử () là một dãy số bất kỳ, thoả mãn < 1 và .
Ta có 
Vậy 
Giả sử () là một dãy số bất kỳ, thoả mãn > 1 và .
Ta có:
Vậy 
b. Chú ý:
 +) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có :
 ; .
+) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi vẫn còn đúng khi hoặc 
Ví dụ 2: 
Chia cả tử và mẫu cho , ta có:
= = = =
Ví dụ 3: 
Ví dụ 4: 0
Ví dụ 5: 
HTKT 3. Giới hạn vô cực, một vài giới hạn đặc biệt. 
* Mục tiêu: Học sinh biết, hiểu định nghĩa giới hạn vô cực. Từ đó áp dụng làm các bài tập tìm giới hạn vô cực đặc biệt
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu hỏi sau.
Tính giới hạn: 
	H1. Khi thì 
	H2. 
	H3. 
-Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận hàm số có giới hạn vô cực khi .
- GV kết luận hàm số có giới hạn vô cực khi 
gọi học sinh tính các gới hạn sau:
 * , , 
- Giáo viên đưa đến một vài gới hạn đặc biệt.
TL1. . Khi thì 
TL2. 
TL3. 
1.Định nghĩa 4:
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).
 Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là - ∞ khi nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và , ta có .
Kí hiệu: hay khi .
Nhận xét : 
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
a) với k nguyên dương.
b) nếu k là số lẻ
c) nếu k là số chẵn.
HTKT 4: Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:
*Mục tiêu: Học sinh biết được quy tắc về giới hạn vô cực: giới hạn của tích, thương .
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau trong phiếu học tập số 3.
PHIẾU HỌC TẬP SÔ 3
-Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x).
 -Tìm giới hạn 
Ví dụ : Tìm ?
Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau trong phiếu học tập số 4.
PHIẾU HỌC TẬP SÔ 4
Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn thương .
 Tìm giới hạn 
Ví dụ : Tìm a)
 b)
a. Qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x).
Nếu và ( hoặc - ∞ ) thì được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:
L > 0
+ ∞
+ ∞
- ∞
- ∞
L < 0
+ ∞
- ∞
- ∞
+ ∞
Ví dụ : Tìm 
= 
b. Quy tắc tìm giới hạn của thương 
Dấu của g(x)
L
± ∞
Tuỳ ý
0
L > 0
0
+
+ ∞
- 
- ∞
L < 0
+
- ∞
- 
+ ∞
Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp , 
Ví dụ : a)
 b)
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
C
Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi và tính toán.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Tổ chức học sinh thảo luận nhóm giải bài tập.
Câu 1. bằng
 A.5 B. 7 C. 10 D. 
Câu 2: bằng
 A. -1 B. 1 C. 2 D. 
 Câu 3. Cho hàm số: , tìm 
	A. B. 	 C. 	D. 
Câu 4: bằng
 A. -1 B. 1 C. 2 D. 
 Câu 5. bằng
 A. 	 B. 	 C. D. 
Câu 6. bằng
 A.1/2 B. 1/4 C. -1/4 D.-1/2
C =3.4+6-8=10
A 
A 
D 
C 
C.
nhận xét và lựa chọn cách làm nhanh nhất cho từng câu trắc nghiệm.
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG
D,E
Mục tiêu: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng tham gia hoạt động nhóm, tìm hiểu tư liệu trên mạng, kĩ năng tự học và tự nghiên cứu ở nhà.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Cho học sinh nghiện cứu các bài tập sau:
*Bài toán 1: Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ con người của một nước đang phát triển, sau x năm kể từ bây giờ là: T(x) = năm . Hỏi tuổi thọ của con người sẽ đạt được tới mức Giới hạn là bao nhiêu? 
* Tính các giới hạn sau:
a/ 
b/ 
c/
thuật toán: 
phân tích 
gọi là nghiệm của 
khi đó c là nghiệm của hệ 
bài tập về nhà:
d/ 
e/ 
g/ 
69 tuổi.
a/ , đáp số -1 ( nhân lượng liên hợp)
b/ đặt 
c/
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT
1
Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây ?
A..	B. . 
 C. .	 D. Hàm số không có giới hạn khi.
Đáp án B
Lời giải
Hàm số xác định trên các khoảng và . Ta có .
.
Câu 2 bằng:
A..	B. .	C. .	D. .
Đáp án C.
Lời giải
Ta có .
Vì và nên .
THÔNG HIỂU
2
Câu 3: Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A..	B. .
C. .	D. không tồn tại.
Đáp án B.
Lời giải
Hàm số xác định trên.
Có thể giải nhanh như sau : Vì là một hàm đa thức của nên có giới hạn tại vô cực. Mà với mọi nên giới hạn của tại chắc chắn là .
Thật vậy, ta có .
Vì và nên .
Câu 4: Giới hạn của hàm số khi bằng:
A..	B. .	C. .	D. 3.
Đáp án A.
Lời giải
Ta có:
Mà và .
Vậy 
Câu 5: Xét bài toán “Tìm ”, bạn Hà đã giải như sau:
Bước 1: Vì .
Bước 2: với và đủ gần 2,
Bước 3: 
Bước 4: nên theo quy tắc 2, .
Hỏi lời giải trên của bạn Hà đã sai từ bước thứ mấy ?
A. Bước 1.	B. Bước 2.	C. Bước 3.	D. Bước 4.
Đáp án B
Lời giải
Xét dấu biểu thức ta thấy với mọi .
Vậy lời giải sai từ bước 2. (Lời giải đúng cho ra kết quả).
VẬN DỤNG
3
Câu 6: Tính giới hạn , ta được kết quả:
A..	B. .	C. .	D. .
Đáp án B
Lời giải
Ta có .
Lại có .
Tương tự: .
Vậy .
 Câu 7: Giới hạn bằng:
A..	B. .	C. .	D. .
Đáp án B
Lời giải
 Ta có 
.
Tac có: .
Do đó .
Câu 8: Giả sử . Hệ số bằng bao nhiêu để ?
A..	B. .	C. .	D. .
Đáp án D 
Lời giải
Ta có 
Vậy . Do đó . 
VẬN DỤNG CAO
4
Câu 9: Tính giới hạn .
A..	B. .	C. .	D. .
Đáp án B
Lời giải
Đặt thì và
.
Vậy .
Mà ; .
Vậy .
 V. PHỤ LỤC
PHIẾU HỌC TẬP
1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Câu 1. Cho hàm số , tìm .
	A. 	B. 	 C. 	D. 
Câu 2. Cho hàm số , tìm.
	A. 	B. 	 C. 	D. 
Câu 3. Giới hạn của hàm số khi bằng
A..	B. .	C. .	D. .
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
Tính các giới hạn sau: (về nhà giải)
1. 2. 3. 
4., 5. 6.
MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ
2
Nội dung
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao
1.Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Biết được định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Hiếu và biết cách tính giới hạn của hàm số tại một điểm
Biến đổi tính được giới hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên. Giải được dạng vô định .
Sử dụng các công thức tính giới hạn tại một điểm, định lí về giới hạn hữu hạn để giải các bài toán giới hạn hàm số không đơn giản.
2.giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Nắm định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.
Hiếu và biết cách tính giới hạn của hàm số tại vô cực
Biến đổi tính được giới hạn của hàm số tại vô cực. Giải được dạng vô định 
3.Giới hạn vô cực của hàm số
Nắm định nghĩa giới hạn vô cực và các quy tắc tính giới hạn vô cực của hàm số.
Hiếu và biết cách tính giới hạn của hàm số dạng tích, thương
Biến đổi tính được giới hạn của hàm số. Giải được dạng vô định