Giáo án Đại số Lớp 11 - Chủ đề: Phương pháp quy nạp toán học

Chủ đề: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Thời lượng dự kiến:2 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
-Hiểu được phương pháp và các bước chứng minh quy nạp.
- Biết được khi nào thì dùng phương pháp quy nạp.
2. Kĩ năng
- Vận dụng thành thạo phương pháp quy nạp trong giải toán.
3.Về tư duy, thái độ	
- Tự giác, tích cực trong học tập.
- Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
-Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xâydựng cao.
4.Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: 
- Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điềuchỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.
- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học .
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng 
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
A
Mục tiêu:- Biết phối hợp hoạt động nhóm và sử dụng tốt kỹ năng ngôn ngữ.
- Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài toán 1
Thầy giáo kiểm tra bài cũ lớp 11A1 (có 35 học sinh), thầy gọi theo sổ điểm lần lượt các bạn:
Trần Thị Hoa
Cao Nói
Hồ Tình
Văn Thanh Diệu
Đỗ Thị Lan.
Cả 5 bạn ấy đều học bài. Thầy kết luận: “Cả lớp 11C1 học bài”. Thầy kết luận như vậy có hợp lí không? Nếu không thì làm thế nào để có kết luận đúng?
Bài toán 2
Người ta kiểm tra trên một quần thể ruồi giấm thấy thế hệ đầu tiên có tính trạng mắt đỏ. Kết luận: “Tất cả ruồi giấm ở mọi thế hệ của quần thể này đều mắt đỏ”.
Kết luận như vậy có đúng không? Nếu không làm thế nào để có kết luận đúng?
Kết quả 1:
Thầy kết luận như vậy là chưa hợp lí vì có thể các bạn từ số thứ tự 6 đến số thứ tự 35 chưa chắc đều học bài.
Để thu được kết luận đúng, thầy cần kiểm tra cả lớp( bằng cách kiểm tra 15 phút chẳng hạn).
Kết quả 2:
Kết luận như vậy chưa chắc đúng vì chưa kiểm tra xem các thế hệ khác có mắt đỏ không? 
Ta không thể làm như bài toán 1 vì số lượng ruồi giấm và các thế hệ của quẩn thể là vô số, việc kiểm tra từng cá thể của từng thế hệ là không thể thực hiện được.
Để thu được kết luận đúng, ta làm như sau:
+ Kiểm tra với thế hệ thứ nhất (đời F1);
+ Chứng minh sự di truyền của tính trạng mắt đỏ. Tức là chứng minh rằng nếu đời bố mẹ mắt đỏ thì đời con mắt đỏ. Khi đó, chắc chắn tất cả các cá thể ở mọi thế hệ đều mắt đỏ vì thế hệ trước sẽ di truyền lại cho thế hệ sau.
GV treo bảng phụ
GV phân nhóm: Nhóm 1, 2 thảo luận câu 1; Nhóm 3, 4 thảo luận câu 2.
HS quan sát bảng phụ và tiến hành trao đổi, thảo luận theo nhóm
Câu 1. Cho mệnh đề 
Với Đúng
 Đúng
 Đúng
 Đúng
Với thì mệnh đề đúng hay sai? Vậy với là số nguyên dương thì mệnh đề đúng hay sai? 
Câu 2. Cho mệnh đề 
Với Đúng
 Đúng
 Đúng
 Đúng
Với thì mệnh đề đúng hay sai? Vậy với là số nguyên dương thì mệnh đề đúng hay sai? 
Kết quả 3: Với mọi thì sai vì sai.
Kết quả 4: Ta có đúng và với mọi thì cũng đúng.
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
B
Mục tiêu: - Nhớ và hiểu được nội dung của phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước (bắt buộc) theo một trình tự quy định.
	- Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
I. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với .
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì (giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề đúng với .
Đó là phương pháp quy nạp toán học.
Nắm được phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước (bắt buộc) theo một trình tự quy định.
II. Ví dụ áp dụng
VD1: Chứng minh rằng với mọi , ta có:
VD2: Chứng minh rằng với thì chia hết cho 3.
Chú ý:Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với .
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì , chứng minh mệnh đề đúng với .
VD3: Cho hai số và , 
a) So sánh hai số đó với 
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
* Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên .
Kết quả 1:
* Với thì VT = 1 = VP
Vậy hệ thức đúng với .
* Giả sử (*) đúng khi , tức là đúng
Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là
Ta có
Do đó (*) đúng với .
Vậy (*) đúng với mọi .
Kết quả 2:
* Với ta có 
Vậy (*) đúng với .
* Giả sử (*) đúng với , tức là 
Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là 
Thật vậy, ta có
Theo giả thiết, và nên 
Do đó (*) đúng với .
Vậy (*) đúng với mọi .
* Nắm được phương pháp quy nạp chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên .
Kết quả 3:
CM: với , (*)
* Với ta có 27 > 24
Vậy (*) đúng với .
* Giả sử (*) đúng với , tức là 
Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là 
Thật vậy, ta có 
Do đó (*) đúng với .
Vậy (*) đúng với mọi , .
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
C
Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
1. Chứng minh với , ta có:
a) 
b) 
c) 
Kết quả 1:
a)*Với thì VT = 2 = VP
Vậy hệ thức đúng với 
* Giả sử (a) đúng khi , tức là đúng
Ta CM với thì (a) cũng đúng, nghĩa là 
Ta có
Do đó (a) đúng với .
Vậy (a) đúng với mọi .
b) * Với thì VT = = VP
Vậy hệ thức đúng với 
* Giả sử (b) đúng khi , tức là đúng
Ta CM với thì (b) cũng đúng, nghĩa là
Ta có
Do đó (b) đúng với .
Vậy (b) đúng với mọi .
* HS tự chứng minh c).
2. Cho tổng 
với 
a) Tính S1, S2, S3.
b) Dự đoán công thức tính và chứng minh bằng qui nạp.
Kết quả 2:
* HS tính S1, S2, S3.
CM: với (*)
* Với thì VT = = VP
Vậy hệ thức đúng với 
* Giả sử (*) đúng khi , tức là đúng
Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là
Ta có
Do đó (*) đúng với .
Vậy (*) đúng với mọi .
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG
D,E
Mục tiêu:Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết những vấn đề thực tế trong cuộc sống, những bài toán thực tế 
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Câu hỏi 1:
Em dự đoán xem, tâm đường tròn tiếp theo nằm ở vị trí nào, bán kính bằng bao nhiêu
Câu hỏi 2: 
Chứng minh rằng số đường chéo trong một đa giác lồi bằng 
Câu hỏi 3: Biết rằng số phức. Khi đó tính
Câu hỏi 4: Tìm quy luật 
Kết quả 1:
Bán kính đường tròn là các số Fibonacci( Quy nạp kiểu Fibonacci)
Kết quả 2:Khẳng định đúng với n =4 vì tứ giác có hai đường chéo.
Giả sử khẳng định đúng với , tức là 
Ta cần chứng minh khẳng định đúng khi, có nghĩa là phải chứng minh
Thật vậy. Khi ta vẽ thêm đỉnh thì cạnh bây giờ trở thành đường chéo. Ngoài ra từ đỉnh ta kẻ được tới đỉnh còn lại để có thể tạo thành đường chéo. Nên số đường chéo mới tạo thành khi ta thêm đỉnh là .
Vậy ta có 
Kết quả 3:
Kết quả 4:
Đáp án có chữ số đầu và chữ số cuối đều là 1, ở giữa là sự sắp xếp các con số tịnh tiến, mang tính đối xứng.
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT
1
Câu 1. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên ( là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Chọn B.
Câu 2. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên ( là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với . Khẳng định nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Chọn B.
Câu 3. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên ( là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
 Bước 1, kiểm tra mệnh đề đúng với 
 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với 
Trong hai bước trên:
	A. Chỉ có bước 1 đúng. 	B. Chỉ có bước 2 đúng.
	C. Cả hai bước đều đúng. 	D. Cả hai bước đều sai.
Lời giải. Chọn C.
THÔNG HIỂU
2
Câu 5. Cho với Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Nhìn vào đuôi của là cho , ta được 
Do đó với , ta có Chọn C.
Câu 6. Cho với Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A.	B.	C.	D.
Lời giải. Cách trắc nghiệm: Ta tính được . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B.
Cách tự luận. Ta có dự đoán 
 Với , ta được : đúng.
 Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là .
 Ta có 
 Suy ra mệnh đề đúng với .
Câu 7. Cho với Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A.	B.	C.	D.
Lời giải. Cho Kiểm tra các đáp án chỉ cho B thỏa. Chọn B.
Câu 8. Cho với và Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Vì nên ta cho 
Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D.
Câu 9. Với mọi , hệ thức nào sau đây là sai?
	A.	B..	
	C.	 D..
Lời giải. Bằng cách thử với , , là ta kết luận được. Chọn D.
VẬN DỤNG
3
Câu 10. Chứng minh rằng với mọi thì chia hết cho 3.
Hướng dẫn giải
Đặt. 
- Khi , ta có. Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: 
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: .
Thật vậy: 
.
Mà và nên mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi.
Câu 11. Chứng minh rằng với mọi thì chia hết cho 6.
Hướng dẫn giải
Đặt . 
- Khi , ta có . Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: .
Thật vậy: 
Mà , (do và là 2 số tự nhiên liên tiếp nên ) và nên 
mệnh đề đúng khi .
- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi.
VẬN DỤNG CAO
4
Câu 12. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 
Hướng dẫn giải
 (1)
Với n = 1: Vế trái của (1) ; Vế phải của (1) . Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh: 
Thật vậy (đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Câu 13. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 
Hướng dẫn giải
Với n = 1: Vế trái của (1) ; Vế phải của (1) . 
Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: 
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh: 
Thật vậy 
(đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
V. PHỤ LỤC
PHIẾU HỌC TẬP
1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ
2
Nội dung
Nhận thức
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao
Phương pháp quy nạp toán học
Phát biểu được phương pháp chứng minh quy nạp đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nÎ N.
Hiểu được các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Î N đơn giản.
Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Î N phức tạp