Giáo án Đại số Lớp 11 - Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân - Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Trường: ..
Tổ: TOÁN
Ngày soạn: ../ ../2021
Tiết: 
Họ và tên giáo viên: 
Ngày dạy đầu tiên: ..
CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN. 
BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán –ĐS >: 11
Thời gian thực hiện: 2 tiết
TIẾT 37+38
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học dùng để chứng minh một mệnh đề liên quan đến số tự nhiên.
2. Năng lực
 - Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điềuchỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.
- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.
3. Phẩm chất: 
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. 
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.
- Năng động, trung thựcsáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.
- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU 
 - Kiến thức về một số phép toán liên quan tới số tự nhiên. 
 - Máy chiếu
 - Bảng phụ
 - Phiếu học tập
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : 
1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU 
a) Mục tiêu: 
- Biết phối hợp hoạt động nhóm
- Tạo hứng thú vào bài mới
b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh tìm tòi các quy luật của bài toán quy nạp.
H1- Thầy giáo kiểm tra bài cũ lớp 11G(có 30 học sinh), thầy gọi theo sổ điểm lần lượt 5 bạn: Hoa, Nam, Lan, Hùng, Minh. Cả 5 bạn ấy đều học bài. Thầy kết luận: “Cả lớp 11G học bài”. Thầy kết luận như vậy có hợp lí không? Nếu không thì làm thế nào để có kết luận đúng?
H2- Xét mệnh đề chứa biến với .
1) Với thì đúng hay sai?
2) Với mọi thì đúng hay sai?
c) Sản phẩm: 
Câu trả lời của HS
Kết quả 1:
Thầy kết luận như vậy là chưa hợp lí vì có thể các bạn từ số thứ tự 6 đến số thứ tự 35 chưa chắc đều học bài.
Để thu được kết luận đúng, thầy cần kiểm tra cả lớp ( bằng cách kiểm tra 15 phút chẳng hạn).
Kết quả 2:
Với Đúng
 Đúng
 Đúng
 Đúng
Với thì mệnh đề đúng hay sai? Vậy với là số nguyên dương thì mệnh đề đúng hay sai? Ta có đúng và với mọi thì cũng đúng.
d) Tổ chức thực hiện: 
*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV giao câu hỏi cho từng nhóm hoàn thành trước ở nhà, làm thành file trình chiếu, cử đại diện thuyết trình.
*) Thực hiện: HS chia nhóm học tập phân công thực hiện. 
*) Báo cáo, thảo luận: 
- GV gọi lần lượt 3 nhóm học sinh ( bốc thăm), mỗi nhóm cử đại diện lên bảng trình bày câu trả lời của mình.
- Các nhóm học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.
*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: 
- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.
- Dẫn dắt vào bài mới.
2.HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
I. Phươngpháp quy nạp toán học
a) Mục tiêu: Phát biểu và giải thích được các bước để chứngminh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n luôn đúng mà không thể kiểm tra trực tiếp được.
b)Nội dung:
Bài toán 1: Xét hai mệnh đề và 
a)Với thì đúng hay sai?
b) Với mọi thì đúng hay sai ?
1.Phương pháp quy nạp toán học ( Phương pháp quy nạp)
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với 
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên . ( Giả thiết quy nạp)
Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với 
Bước 4: Kết luận mệnh đề đúng với mọi 
c) Sản phẩm:
Bài toán 1.
a) Với mệnh đề 
Với Đúng; Đúng
Đúng; Đúng
 mệnh đề sai
Với mệnh đề 
Với Đúng; Đúng
 Đúng; Đúng
 là mệnh đề đúng
b) vì với thì sai nên không đúng với 
vì với thì nên chưa kết luận được đúng hay sai . 
GV: Vậy làm thể nào để biết đúng hay sai . Ta kiểm tra tiếp với các giá trị khác của n ta vẫn thấy đúng nhưng ta không thể kiểm tra nên ta làm như sau:
Giả sử đúng tức là đúng 
Xét mệnh đề với : có vì đúng.
Vậy ta có thể kết luận đúng với 
Cách chứng minh trên ta gọi là quy nạp toán học hay phương pháp quy nạp (hay suy luận quy nạp)
HS: Phát biểu các bước quy nạp.
d) Tổ chức thực hiện
HĐTP1. 
Chuyển giao
Trình chiếu nội dung câu hỏi 1, chia lớp thành 4 nhóm
HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ, phân công các thành viên trong nhóm
Thực hiện
GV: Cho học sinh thảo luận 5 phút
HS: Đọc yêu cầu, trình bày nội dung câu trả lời trên bảng phụ
Báo cáo thảo luận
 Nhóm 1 đại diện báo cáo sản phẩm, các nhóm còn lại kiểm tra chéo theo sơ đồ 1-2-3-4.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các nhóm ; đặt vấn đề chứng minh mệnh đề đúng . Hướng dẫn học sinh thực hiện.Cho học sinh phát biểu nội dung phương pháp quy nạp
II. Các ví dụ áp dụng
a) Mục tiêu: Biết thực hiện các bước quy nạp, rèn kỹ năng biến đổi biểu thức toán học, phát triển tư duy logic, khả năng sáng tạo, linh hoạt.
b)Nội dung:
VD1: Cho hai số và , 
a) So sánh hai số đó với 
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Chú ý:Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với .
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì , chứng minh mệnh đề đúng với
VD2: Chứng minh rằng với mọi , ta có:
VD3: Chứng minh rằng với thì chia hết cho 3.
c) Sản phẩm:
Ví dụ 1.
HS: a) Với thấy là mệnh đề sai
Vớithấy là mệnh đề đúng
Suy đoán mệnh đề đúng với , 
GV: Hướng dẫn
CM: với , (*)
* Với ta có 27 > 24
Vậy (*) đúng với .
* Giả sử (*) đúng với , tức là 
Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là 
Có vì 
Do đó (*) đúng với .
Vậy (*) đúng với mọi , .
Ví dụ 2
* Với thì VT = 1 = VP
Vậy hệ thức đúng với .
* Giả sử (*) đúng khi , tức là đúng
Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là
Ta có
Do đó (*) đúng với .
Vậy (*) đúng với mọi .
Ví dụ 3
* Với ta có 
Vậy (*) đúng với .
* Giả sử (*) đúng với , tức là 
Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là
Thật vậy, ta có
Theo giả thiết, và nên 
Do đó (*) đúng với .
Vậy (*) đúng với mọi .
d) Tổ chứcthực hiện
HĐTP1:
Chuyển giao
Trình chiếu nội dung ví dụ 1,học sinh quan sát và đọc hiểu câu hỏi và trả lời 
Thực hiện
HS thảo luận cá nhân 2 phút
Báo cáo thảo luận
Đại diện học sinh trả lời kết quả câu a và dự đoán ở câu b
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của cả lớp ; vấn đáp tại chỗ, hướng dẫn học sinh thực hiện các bước quy nạp, phát biểu chú ý. Yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động thành phần 2
HĐTP2
Chuyển giao
GV : trình chiếunội dung ví dụ 2 và ví dụ 3, chia lớp thành 4 nhóm, nhóm 1,3 là ví dụ 2 ; nhóm 2,4 làm ví dụ 3
HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ
Thực hiện
GV: Cho học sinh thảo luận 5 phút
HS: Hoàn thành yêu cầu vào bảng phụ
Báo cáo thảo luận
Đại diện nhóm 1,2 báocáo kết quả nhóm 3,4 kiểm tra chéo sản phẩm của nhau
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các nhóm và củng cố bài dạy
3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: HS biết áp dụng các kiến thức về phương pháp quy nạp toán học vào các bài tập cụ thể trong sách giáo khoa và các bài tập trắc nghiệm cụ thể.
b) Nội dung: 
PHIẾU HỌC TẬP 1
TỰ LUẬN
Câu 1. Chứng minh với , ta có:
a) .	b) chia hết cho 6.
Câu 2. Cho tổng với 
a) Tính .
b) Dự đoán công thức tính và chứng minh bằng qui nạp.
TRẮC NGHIỆM
Câu 3.	Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên ( là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với bằng:
A. .	B. . C. . D. .
Câu 4.	Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên (là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .	B. . C. . D. .
Câu 5.	Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên ( là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
Bước 1, kiểm tra mệnh đề đúng với 
 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với 
Trong hai bước trên:
A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng. 
 C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai.
Câu 6.	Cho với Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. . C. . D. .
Câu 7.	Cho với Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. . C. . D. .
Câu 8.	Cho với Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. . C. . D. .
Câu 9.	Cho với và Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. . C. . D. .
Câu 10.	Với mọi , hệ thức nào sau đây là sai?
A. . B. . 
 C. . D. .
c) Sản phẩm: Học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình.
ĐÁP ÁN TỰ LUẬN
Câu 1. 
a) + Với thì VT = 2 = VP. Vậy hệ thức đúng với .
+ Giả sử (a) đúng khi , tức là đúng.
Ta CM với thì (a) cũng đúng, nghĩa là 
Ta có: 
Do đó (a) đúng với .
Vậy (a) đúng với mọi .
b) Đặt . 
- Khi , ta có . Suy ra mệnh đề đúng với .
- Giả sử mệnh đề đúng khi , tức là: .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi , tức là chứng minh: .
Thật vậy: 
Mà , (do và là 2 số tự nhiên liên tiếp nên ) và nên 
 Mệnh đề đúng khi .
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi.
Câu 2. 
a) HS tính .
b) CM: với (*).
* Với thì VT = = VP.
Vậy hệ thức đúng với .
* Giả sử (*) đúng khi , tức là đúng.
Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là: 
Ta có: 
Do đó (*) đúng với . Vậy (*) đúng với mọi .
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1
HS: Nhận nhiệm vụ,
Thực hiện
 GV: Điều hành, quan sát, hỗ trợ.
HS: 4 nhóm tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.
Báo cáo thảo luận
Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận.
 Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất. 
Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo.
4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.
a) Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết những vấn đề thực tế trong cuộc sống, những bài toán thực tế 
b) Nội dung
PHIẾU HỌC TẬP 2
Vận dụng 1: 
Em dự đoán xem, tâm đường tròn tiếp theo nằm ở vị trí nào, bán kính bằng bao nhiêu?
Kết quả 1:
Bán kính đường tròn là các số Fibonacci( Quy nạp kiểu Fibonacci)
Vận dụng 2: Tìm quy luật 
Kết quả 2:
Đáp án có chữ số đầu và chữ số cuối đều là 1, ở giữa là sự sắp xếp các con số tịnh tiến, mang tính đối xứng.
Vận dụng 3: Chứng minh rằng số đường chéo trong một đa giác lồi bằng .
Kết quả 3: Khẳng định đúng với vì tứ giác có hai đường chéo.
Giả sử khẳng định đúng với , tức là 
Ta cần chứng minh khẳng định đúng khi , có nghĩa là phải chứng minh 
Thật vậy. Khi ta vẽ thêm đỉnh thì cạnh bây giờ trở thành đường chéo. Ngoài ra từ đỉnh ta kẻ được tới đỉnh còn lại để có thể tạo thành đường chéo. Nên số đường chéo mới tạo thành khi ta thêm đỉnh là .
Vậy ta có .
c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh.
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2. 
HS: Nhận nhiệm vụ.
Thực hiện
Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà .
Báo cáo thảo luận
HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau.
 Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất. 
- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.
- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.
Ngày ...... tháng ....... năm 2021
 TTCM ký duyệt