Giáo án Toán 11 - Phần bài tập chương 1 + Chương 2

TOAÙN 11
CHƯƠNG I 
PHÉP DỜI HÌNH VÀ 
PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG 
MẶT PHẲNG 
CHƯƠNG II 
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT 
PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
QUAN HỆ SONG SONG 
Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong
TẬP 1 
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến! 
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, 
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11. 
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và 
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục 
và Đào tạo quy định. 
Nội dung gồm 3 phần 
Phần 1. Kiến thức cần nắm 
Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị 
Phần 3. Phần trắc nghiệm có đáp án. 
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm 
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý 
đồng nghiệp và các em học sinh. 
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916.620.899 
Email: lsp0207@yahoo.com.vn 
 lsp02071980@gmail.com 
Chân thành cảm ơn. 
Tác giả 
 Lư Sĩ Pháp 
Gv_Trường THPT Tuy Phong 
LỜI NÓI ĐẦU 
MỤC LỤC 
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 
§1. PHÉP BIẾN HÌNH Trang 1 
§2. PHÉP TỊNH TIẾN Trang 1 
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Trang 5 
§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Trang 10 
§5. PHÉP QUAY Trang 13 
§6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU Trang 18 
§7. PHÉP VỊ TỰ Trang 20 
§8. PHÉP ĐỒNG DẠNG Trang 25 
ÔN TẬP CHƯƠNG I Trang 29 
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Trang 33 
ĐÁP ÁN Trang 39 
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
QUAN HỆ SONG SONG 
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Trang 40 
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Trang 50 
§3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Trang 57 
§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Trang 64 
§5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
Trang 70 
ÔN TẬP CHƯƠNG II Trang 73 
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II Trang 83 
ĐÁP ÁN Trang 91 
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
1 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
CHƯƠNG I 
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 
---o0o--- 
§ 1. PHÉP BIẾN HÌNH
KIỀN THỨC CẦN NẮM
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt
phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
- Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M) = M’ hay M’ = F(M), khi đó M’ gọi là ảnh
của điểm M qua phép biến hình F.
- Phép biến hình biến mỗi điểm của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
- Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M),
với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H’ hay H’ là ảnh của H qua phép
biến hình F.
- Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F, ta có thể chứng minh: Với điểm
M tuỳ ý M H M F M H' ( ') '∈ ⇔ = ∈
- Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M thì ta cũng được một phép biến hình. Phép
biến hình đó gọi là phép đồng nhất.
§ 2. PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NẰM
I. Phép tịnh tiến
1. Định nghĩa phép tinh tiến
- Trong mặt phẳng cho vectơ v


. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho 
MM v' =

 

 được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v


. 
- Phép tịnh tiến theo vectơ v


 thường được kí hiệu là 
v
T
 . Như vậy 
v
T M M MM v( ) ' '= ⇔ =


 

- Phép tịnh tiến theo vectơ_không được gọi là phép đồng nhất.
2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M x y v a b( ; ); ( ; )=


. Gọi 
v
M T M x y' ( ) ( '; ')= =
 . 
- Khi đó x x a
y y b
'
'
 = +

= +
 gọi là biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến theo vectơ v


. 
- Vận dụng: M x y M x y v a b'( '; ') ( ; ) ( ; )= +


3. Các tính chất của phép tịnh tiến
Phép tịnh tiến:
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ ba điểm đó;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng dã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
- Biến góc thành góc bằng góc đã cho.
II. Phép dời hình
1. Định nghĩa
- Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình, ta được một phép dời hình.
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
2 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
2. Tính chất
Phép dời hình
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toan thứ tự ba điểm ấy;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nó;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng đã cho, biến một góc thành góc bằng góc đã cho;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình F và G, giả sử M là một điểm bất kì, phép biến hình F(M) = M’ và phép
biến hình G(M’) = M”. Khi đó phép biến hình biến điểm M thành điểm M” đươc gọi là hợp
thành của phép F và G, kí hiệu F G
B. BÀI TẬP
Bài 2.1. Cho hai đường thẳng song song a và a ' . Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến a thành a ' . 
HD
Giải 
Lấy điểm A trên a thì với mỗi điểm A’ trên a ' , phép tịnh tiến theo vectơ AA '


 biến a thành a ' . Đó là tất 
cả những phép tịnh tiến cần tìm. 
Bài 2.2. Cho hai phép tịnh tiến 
u
T
 và 
v
T
 . Với điểm M bất kì, 
u
T
 biến điểm M thành M’, 
v
T
 biến điểm 
M’ thành M”. Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành M” là một phép tịnh tiến. 
HD
Giải 
Ta có MM MM M M u v" ' ' ''= + = +

 
 
 
 

 nên phép biến điểm M thành M” là phép tịnh tiến theo vectơ u v+

 

Bài 2.3. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích 
điểm M’ sao cho MB MA MM '= +

 
 

. 
HD
Giải 
Ta gọi O và R là tâm và bán kính của đường tròn (O), Ta có 
MM MB MA AB' = − =

 
 
 

 nên phép tịnh tiến theo vectơ AB


 biến 
điểm M thành M’. Điểm M chạy trên đường tròn (O) thì quỹ tích 
của điểm M’ là đường tròn (O’) có tâm O’ và bán kính R là ảnh 
của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ AB


. 
M
O'
O
A
B
M'
Bài 2.4. Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). 
Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một 
đường tròn. 
HD
Giải 
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. 
Tia OB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Vì 
BCD 090= nên DC // AH, tương tự ta có AD // CH 
Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành . Từ đó suy ra 
AH DC OM2= =

 
 

. Ta thấy rằng OM


 không đổi, nên H là ảnh 
của A qua phép tịnh tiến theo vectơ 2OM


. 
Do vậy khi điểm A di động trên đường tròn (O) thì H di động 
trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ 
2OM


. 
CB
O
D
H
M
A
Bài 2.5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho v( 2;3)−


 và đường thẳng d có phương trình x y3 5 3 0− + = . 
Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v


. 
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
3 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
HD
Giải 
Cách 1. 
Gọi 
v
M x y d M T M x y( ; ) , ' ( ) ( '; ')∈ = =
 . Khi đó x x x x
y y y y
' 2 ' 2
' 3 ' 3
 = − = +
⇒ 
= + = − 
Ta có M d x y x y M d3( ' 2) 5( ' 3) 3 0 3 ' 5 ' 24 0 ' '∈ ⇔ + − − + = ⇔ − + = ⇔ ∈ 
Vậy d x y' : 3 5 24 0− + = 
Cách 2. 
Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M(-1; 0). Khi đó 
v
M T M' ( ) ( 3;3)= = −
 thuộc d’. 
Vì d’ song song hoặc trung với d nên d’: 3x – 5y + c = 0. 
Do M d' '∈ nên 3(-3) – 5.3 + c = 0 suy ra c = 24. Vậy d x y' : 3 5 24 0− + = 
Cách 3. 
Ta cũng có thể lấy hai điểm phân biệt M, N trên d, tìm toạ độ các ảnh M’, N’ tương ứng của chúng qua 
v
T
 . Khi đó d’ là đường thẳng M’N’ 
Bài 2.6. 
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x y x y2 2 2 4 4 0+ − + − = . Tìm ảnh của (C) 
qua phép tịnh tiến theo vectơ v( 2;3)−


. 
HD
Giải 
Cách 1. 
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 3. Gọi 
v
I T I' ( ) ( 1;1)= = −
 và (C’) là ảnh của 
(C) qua 
v
T
 thì (C’) là đường tròn tâm I’, bàn kính R = 3. Do đó (C’): x y2 2( 1) ( 1) 9+ + − =
Cách 2. 
Gọi I(x; y) là tâm của đường tròn (C) và 
v
I T I x y' ( ) ( '; ')= =
 . Khi đó biểu thức toạ độ của 
v
T
 là 
x x x x
y y y y
' 2 ' 2
' 3 ' 3
 = − = +
⇒ 
= + = − 
 thay vào (C), ta được 
x y x y x y2 2 2 2( ' 2) ( ' 3) 2( ' 2) 4( ' 3) 4 0 ( 1) ( 1) 9+ + − − + + − − = ⇔ + + − =
Vậy (C’): x y2 2( 1) ( 1) 9+ + − =
Bài 2.7. 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-3;3), B(1;3) và đường tròn (C) có tâm I(3;1), bán kính R = 1. 
Đường thẳng d: x + y – 1 = 0. Tìm trên d một điểm M và trên (C) điểm M’ sao cho MM AB' =

 

. 
HD
Giải 
Ta có AB (4;0)=


, 
AB
T M x y M x y: ( , ) '( ', ')→
 , nên ta có biểu thức toạ độ theo 
AB
T
 : 
x x x x
y y y y
' 4 ' 4
' '
 = + = −
⇔ 
= = 
. 
AB
T d d: '→
 , phương trình đường thẳng d’: x + y – 5 = 0. 
Ta cóM d M d' '∈ ⇒ ∈ và M C' ( )∈ , nên toạ độ của điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình : 
x y x y
x yx y2 2
5 0 3, 2
4, 1( 3) ( 1) 1
 + − =  = =
⇔ 
= =− + − = 
Vậy M1’(3, 2) thì M1(-1,2) và M2’(4,1) thì M2(0,1). 
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
4 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.8.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-3, 3) và B(-1, 6). 
a) Tìm toạ độ điểm M’ là ảnh của M(4, -5) qua phép tịnh tiến 
AB
T
 ; 
b) Xác định phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: x t
y t
4 2
7 3
 = +

= − +
 qua phép tịnh 
tiến 
AB
T
 ; 
c) Xác định phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 qua
phép tịnh tiến 
AB
T
 . 
Bài 2.9. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ u( 1;2)−


, hai điểm A(3;5), B(-1;1) và đường thẳng d có phương 
trình x – 2y + 3 = 0. 
a) Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ u


; 
b) Tìm toạ độ điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ u


; 
c) Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ u


. 
Bài 2.10. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính R nằm về một phía đối với đường thằng 
AB. Lấy điểm M trên (C), rối dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên 
(C) 
Bài 2.11. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD


. 
Bài 2.12. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo 
vectơ AG


. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG


 biến D thành A. 
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
5 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M
qua d.
- Kí hiệu: Đd (Đường thẳng d gọi là trục đối xứng)
- Nếu M d∈ thì Đd(M) =M M' ≡
- Nếu M d'∉ thì d là đường trung trực của đoạn MM’. Như vậy M’ = Đd(M) M M M M0 0'⇔ = −

 

, 
với M0 là hình chiếu của M trên d
- M’ = Đd(M) ⇔ M = Đd(M’)
2. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nều Đd biến H thành chính nó. Khi đó H được gọi 
là hình có trục đối xứng. 
3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, với mỗi điểm M(x; y).
Gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’)
• Nếu chọn d là trục Ox nghĩa là ĐOx (M) = M’ khi đó ta có: x x
y y
'
'
 =

= −
• Nếu chọn d là trục Oy nghĩa ĐOy (M) = M’ khi đó ta có: x x
y y
'
'
 = −

=
• Nếu chọn d là đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 với A B2 2 0+ ≠ . 
 Đd(M) = M’, khi đó ta có 
A Ax By C
x x
A B
B Ax By C
y y
A B
2 2
2 2
2 ( )
'
2 ( )
'
 + +
= − +

+ +
= −
 +
4. Tính chất
Phép đối xứng trục 
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng;
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. BÀI TẬP
Bài 3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;-2) và B(3;1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua 
phép đối xứng trục Ox. 
HD
Giải 
Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox, ta có biểu thức toạ độ x x
y y
'
'
 =

= −
Do đó ĐOx (A) = A’(1;2), ĐOx (B) = B’(3;-1) và ĐOx (AB) = A’B’: 3x + 2y – 7 = 0. 
Bài 3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình của 
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy. 
HD
Giải 
Cách 1. Lấy điểm bất kì M x y d( ; )∈ . Gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’). Khi đó x x x x
y y y y
' '
' '
 = − = −
⇒ 
= = 
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
6 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
Ta có M d x y3 ' ' 2 0∈ ⇔ − − + = ⇔ M’ thuộc đường thẳng d’ có phương trình 3x’ + y’ – 2 = 0. 
Vậy d’: 3x + y – 2 = 0. 
Cách 2. 
Lấy hai điểm A(0;2) và B(-1;-1) thuộc d. Gọi A’ = Đd(A) = (0;2) và B’ = Đd(B) = (1;-1) 
Khi đó d’ = ĐOy(d) thì d’ qua hai điểm A’ và B’. 
Vậy d’: 3x + y – 2 = 0. 
Bài 3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1;5), đường thẳng d có phương trình x – 2y + 4 = 0 và đường 
tròn (C): x y x y2 2 2 4 4 0+ − + − = 
a) Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d.
HD
Giải 
a) Gọi M’, d’ và (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó M’(1;-5). d’: x + 2y + 4 = 0
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3. Gọi I’ = ĐOx(I) = (1;2). Do đó (C’) là đường tròn có
tâm I’ và bán kính bằng 3. Vậy (C’): x y2 2( 1) ( 2) 9− + − =
b) Cách 1. Ta có M d∉ . Gọi M” = Đd(M) = (x’; y’)
Biểu thức toạ độ đối xứng qua trục d: 
A Ax By C xx x
A B
B Ax By C
y y y
A B
2 22 2
2 2 2 2
2.1(1 2.5 4)2 ( ) ' 1 3'
1 ( 2)
2 ( ) 2.( 2)(1 2.5 4)
' ' 5 1
1 ( 2)
 − + + +
= − == −  + − + ⇒ 
+ + − − + 
= − = − =
  + + −
. 
Vậy M’’(3;1) 
Cách 2. (Vận dụng ND ĐN) 
 Ta có M d∉ . Gọi d1 là đường thẳng qua M và vuông góc với d. Vậy d1: 2x + y – 7 = 0 
Gọi giao điểm của d và d1 là M0 có toạ độ thoả mãn hệ phương trình 
x y x
x y y
2 4 0 2
2 7 0 3
 − + = =
⇔ 
+ − = = 
Vậy M0(2;3). Gọi M” = Đd(M) = (x’; y’) M M M M0 0''⇔ = −

 

. Từ đó suy ra M”(3; 1) 
Bài 3.4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho đường thẳng d: 2x – y – 3 = 0. 
a) Tìm ảnh điểm M’ của điểm M(4; -1) qua phép đối xứng trục Đd.
b) Viếi phương trình đường thẳng d1’ là ảnh của d1: x – 3y + 11 = 0 qua phép Đd.
c) Viết phương trình (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 10x – 4y + 27 = 0 qua phép Đd.
HD
Giải 
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Đd: 
x y
x x x x y
x y
y y y x y
4(2 3) 3 4 12
' '
5 5 5 5
2(2 3) 4 3 6
' '
5 5 5 5
 − −
= − = − + +  
⇔ 
− − 
= + = + −
  
a) Đd:M(4; -1) → M’(x’; y’). Suy ra M 4 7' ;
5 5
 
− 
 
b) Lấy điểm tuỳ ý M x y d1( ; )∈ . Đd: M x y d M x y d '1 1( ; ) '( '; ')∈ → ∈ và ngược, nên ta có 
x x y x x y
y x y y x y
3 4 12 3 4 12
' ' '
5 5 5 5 5 5
4 3 6 4 3 6
' ' '
5 5 5 5 5 5
 
= − + + = − + +  
⇒ 
 
= + − = + −
  
Thay vào d1 ta có được phương trình đường d1’: 3x + y – 17 = 0. 
c) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(5; 2) và bán kính R 2= . Do đó Đd: I(5; 2) → I’(1; 4)
Khi đó Đd: (C) → (C’) có tâm I’ và bán kính R 2=
Vậy (C’): (x – 1)2 + (y – 4)2 = 2 
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
7 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
Bài 3.5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho điểm M(3; -5), đường thẳng ∆ : 3x – 2y – 6 = 
0 và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của M, đường thẳng ∆ và đường tròn (C) qua 
phép đối xứng trục d: 
a) d là trục hoành
b) d là trục tung
c) d là đường thẳng x – y + 1 = 0.
HD
Giải 
a) Khi d là trục hoành, nên biểu thức toạ độ của Đd: x x
y y
'
'
 =

= −
Đd :M → M’ nên M’(3; 5) 
Đd: ∆ → '∆ nên có phương trình: 3x + 2y – 6 = 0 
Đd: (C) → (C’) nên có phương trình: x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0. 
b) Khi d là trục tung, nên biểu thức toạ độ của Đd: x x
y y
'
'
 = −

=
Đd :M → M’ nên M’(-3; -5) 
Đd: ∆ → '∆ nên có phương trình: 3x + 2y + 6 = 0 
Đd: (C) → (C’) nên có phương trình: x2 + y2 + 2x + 4y – 4 = 0. 
c) Khi d là đường thẳng x – y + 1 = 0 nên có biểu thức toạ độ của Đd: x y
y x
' 1
' 1
 = −

= +
Đd :M → M’ nên M’(-6; 4) 
Đd: ∆ → '∆ nên có phương trình: 2x – 3y + 11 = 0 
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 3. Do đó Đd :I → I’ nên I’(-3; 2) 
Đd: (C) → (C’) có tậm I’ và bán kính bằng 3.Vậy (C’): x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0. 
Bài 3.6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho hai đường thẳng d1: x – 5y + 7 = 0 và d2: 5x – 
y – 13 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2. 
HD
Giải 
Phương trình đường thẳng d1: x – 5 y + 7 = 0 và d2: 5x – y – 13 = 0. Suy ra d1 và d2 cắt nhau nên phép đối 
xứng trục biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2 có trục là đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2. 
Phưong trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 là: 
x y x y x yx y x y
x y
5 7 5 13 5 05 7 5 13
1 01 25 25 1 26 26
− + − −  + − =− + − −
= ⇔ = ± ⇔ 
− − =+ + 
Khi d có phương trình x + y – 5 = 0 ta có biểu thức toạ độ Đd: 
x y
y x
' 5
' 5
 = − +

= − +
Khi d có phương trình x – y – 1 = 0 ta có biểu thức toạ độ Đd: 
x y
y x
' 1
' 1
 = +

= −
Bài 3.8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho hai đường thẳng d1: x + 3y – 6 = 0 và d2: 3x + 
y + 2 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2. 
HD
Giải 
Trục đối xứng biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2 là trục d: Đường phân giác của góc tạo bởi d1 và 
d2 : 
x y x y x yx y x y
x y
3 6 3 2 4 03 6 3 2
1 01 9 9 1 10 10
+ − + +  − + =+ − + +
= ⇔ = ± ⇔ 
+ − =+ + 
Bài 3.9.
Cho đường thẳng a và hai điểm A, B. Hãy tìm điểm M a∈ sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ 
nhất khi A và B nằm cùng một phía đối với a.
HD
Giải 
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
8 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục Đa. M là điểm bất kì 
thuộc a ta có: 
MA MA MA MB MA MB A B' ' '= ⇒ + = + ≥ Do đó MA + MB đạt 
giá trị nhỏ nhất khi bằng A’B 
Điều này xảy ra ki và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng nghĩa là M là 
giao điểm của A’B với a. 
Vậy: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M trùng với M’ là giao 
điểm của A’B và đường thẳng a. 
I
A'
A
M M'
B
a
Bài 3.10. Trong mặt phẳng hệ trụa toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4), Tìm điểm M trên trục 
hoành sao cho MA + MB bé nhất. 
HD
Giải 
Ta có yA.yB > 0 nên A, B nằm cùng phía đối với Ox. 
Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox và M(x; 0). Suy ra A’(1; -2) 
Ta có MA + MB = MA’ + MB A B'≥ 
Vậy (MA + MB) nhỏ nhất ⇔ (MA’ + MB) nhỏ nhất MA MB A B' '⇔ + = 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng. (1) 
Ta lại có: A B A M x' (2;6), ' ( 1;2)= = −

 

Do (1) ⇔ A B'


 cùng phương A M'


x x
5
2.2 6( 1) 0
3
⇔ − − = ⇔ = . Vậy M 5 ;0
3
 
 
 
Bài 3.11. Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên Ox và điểm C 
trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. 
HD
Giải 
Xét tam giác bất kì ABC có B và C lần lượt nằm 
trên hai tia Ox và Oy. Gọi A’ và A’’là các điểm đối 
xứng của A qua các đường thẳng Ox, Oy. Gọi 2p 
là chu vi của tam giác ABC 
Ta có 
p AB BC CA A B BC CA A A2 ' " ' "= + + = + + ≥ . 
Dấu bằng xảy ra khi bốn điểm A’, B, C, A” thẳng 
hàng. 
Suy ra chu vi của tam giác ABC bé nhất phải lấy B 
và C lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng A’A” 
với hai tia Ox, Oy.(các giao điểm này tồn được vì 
góc xOy nhọn) 
B
O
C
A
A'
A''
Bài 3.12. 
Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng 
minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn. 
HD
Giải 
Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường tròn 
(O). Ta có 
 BAH HCB= (góc có cạnh tương ứng vuông góc) 
 BAH BCH '= (cùng chắn một cung) 
Vậy tam giác CHH’ cân tại C, suy ra H đối xứng với H’ qua 
đường thẳng BC. 
Khi A chạy trên đường tròn (O) thì H’ cũng chạy trên đường 
tròn (O). Do đó H phải chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) 
qua phép đối xứng qua đường thẳng BC. 
H'
H
O
O'
CB
A
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
9 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
Bài 3.13. 
Cho đường thẳng d qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Hãy xác định 
trên d hai điểm M và N sao cho MN PQ=

 

 và AM + BN bé nhất. 
HD
Giải 
Giả sử hai điểm M và N nằm trên d sao cho MN PQ=

 

. Lấy điểm A’ sao cho AA PQ' =

 

 thì A’ hoàn toàn 
xác định và AMNA’ là hình bình hành nên AM = A’N 
Vậy AM + BN = A’N + AN, như thế bài toán trở về bài 3.9. 
Khi điểm N xác định được thì điểm M cũng xác định được với điều kiện MN PQ=

 

NM
A'A
B
dQP
Bài 3.14. Cho tam giác ABC. Gọi d là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC và M là một 
điểm bất kì thuộc d. Chứng minh rằng tam giác MBC có chu vi không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC. 
HD
Giải 
Gọi C’ là ảnh của C đối xứng qua trục d. Khi đó 
hiển nhiên A nắm giữa B và C’. 
Với mọi M d∈ , ta có MC = MC’ và 
MB MC MB MC BC' '+ = + ≥ 
Mà BC AB AC AB AC' '= + = +
Vậy MB MC BC AB AC BC+ + ≥ + + . Điều này 
chứng tỏ rằng, tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. 
CB
A
C'
M
d
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.15. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có phương trình: 
(C1): x2 + y2 – 4x + 5y + 1 = 0; (C2): x2 + y2 + 10y – 5 = 0. Viết phươg trình ảnh của mỗi đường tròn trên 
qua phép đối xứng trục Oy. 
Bài 2.16. Cho hai đường thẳng c, d và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy dựng điểm C 
trên c, điểm D trên d sao cho tứ giác ABCD là hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy (không cần biện 
luận) 
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
10 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
- Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho
I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.
- Kí hiệu : ĐI
- Từ định nghĩa suy ra: ĐI(M) = M’ IM IM'⇔ = −

 

- Từ đó suy ra:
 Nếu M I≡ thì M I' ≡
 Nếu M không trùng với I thì ĐI(M) = M’ ⇔ I là trung điểm của MM’
 ĐI(M) = M’ ⇔ ĐI(M’) = M
2. Tâm đối xứng của một hình
Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi
đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.
3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng Oxy, Cho điểm I = (a; b). Gọi M = (x;y) và M’= ĐI(M) = (x’; y’)
Trường hợp 1: Khi tâm đối xứng I trùng với gốc toạ độ O(0; 0)
ĐO M x y M x y: ( , ) '( ', ')→ khi đó : 
x x
y y
'
'
 = −

= −
Trường hợp 2: Khi tâm đối xứng ( )I a b,
ĐI M x y M x y: ( , ) '( ', ')→ khi đó : 
x a x
y b y
' 2
' 2
 = −

= −
4. Các tính chất
Phép đối xứng tâm
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. BÀI TẬP
Bài 4.1.Giả sử phép đối xứng tâm ĐO biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Chứng minh 
a) Nếu d không đi qua tâm đối xứng O thì d’ song song với d, O cách đều d và d’
b) Hai đường thẳng d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi d đi qua O.
HD
Giải 
a) Kẻ OH d H d ( )⊥ ∈ thì vì d không đi qua
O nên H không trùng với O. Phép ĐO(H) = 
H’ thì O là trung điểm của HH’ và biến 
đường thẳng d thành đường thẳng d’ 
vuông góc với OH’ tại H’. Suy ra d và d’ 
song song, cách đều điểm O. 
H' HO
dd'
b) Nếu d không qua O thì theo câu a), d’ // d nên d’ không trùng d. Nếu d đi qua O thì mọi điểm
M d∈ biến thành M d'∈ . Vậy d’ trùng với d.
Bài 4.2. Chỉ ra tâm đối xứng của các hình sau dây: 
a) Hình gốm hai đường thẳng cắt nhau
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
11 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
b) Hình gồm hai đường thẳng song song
c) Hình gồm hai đường tròn bằng nhau
d) Đường elip
e) Đường hypebol
HD
Giải 
a) Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường thẳng.
b) Tâm đối xứng là những điểm cách đều hai đường thẳng
c) Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn
d) Tâm đối xứng là trung điểm nối hai tiêu điểm của elip.
e) Tâm đối xứng là trung điểm nối hai tiêu điểm của hypebol.
Bài 4.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 =0 . Tìm 
ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O. 
HD
Giải 
Gọi A’ = ĐO(A) = (x’; y’). Theo biểu thức toạ độ, ta có x x
y y
'
'
 = −

= −
. Vậy A’(1; -3)
Gọi d’ = ĐO(d) 
Cách 1. Lấy một điểm tuỳ ý M x y d( ; )∈ . Khi đó ta có M’ = ĐO(M) = (x’; y’), nên thay x = - x’, y = - y’ 
vào phương trình của d. Ta có ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là d’: x – 2y – 3 = 0. 
Cách 2. Lấy điểm B d( 3;0)− ∈ . Khi đó B’ = ĐO(B) = (3;0) thuộc d’ 
d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O nên d’ song song hoặc trùng với d. Do đó d’: x – 2y + c = 0 
B d' '∈ suy ra c = - 3. Vậy d’: x – 2y – 3 = 0. 
Cách 3. Lấy hai điểm phân biệt M, N thuộc d và xác định ảnh của nó qua phép đối xứng tâm O, khi đó 
đường thẳng d’ qua hai điểm M’ và N’. 
Bài 4.4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho hai điểm I(1; 2), M(-2; 3), đường thẳng d 
có phương trình 3x – y + 9 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0. Hãy xác định toạ độ điểm M’, 
phương trình đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d, (C) qua: 
a) Phép đối xứng qua gốc toạ độ
b) Phép đối xứng qua tâm I
HD
Giải 
a) Gọi M’, d’, (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O. Dùng biểu thức toạ độ
của phép đối xứng qua gốc toạ độ O ta có:
M’(2; -3), phương trình của d’: 3x – y – 9 = 0, phương trình đường tròn (C’): x2 + y2 - 2x + 6y + 6 = 0
b) Gọi M’, d’, (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng tâm I. Dùng biểu thức toạ độ
của phép đối xứng qua tâm I ta có: M’(4; 1)
Vì d’ song song với d nên d’: 3x – y + c = 0, lấy điểm N(0; 9) thuộc d. Khi đó ảnh của N qua phép đối
xứng tâm I là N’(2; -5) thuộc d’. Từ đó suy ra c = -11
Vậy d’: 3x – y – 11 = 0.
Đường tròn (C) có tâm J(-1; 3) và bán kính R = 2. Ảnh J qua phép đối xứng tâm I là J’(3; 1). Vậy
phương trình (C’): (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4
Bài 4.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x – 2y + 2 = 0 và d’ có phương trình x 
– 2y – 8 = 0. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó.
HD
Giải 
Giao điểm của d và d’ với Ox là A(-2; 0) và A’(8; 0). Gọi I(a; b) là tâm của phép đối xứng 
Ta có ĐI A x y A x y: ( , ) '( ', ')→ khi đó : 
x a x a a
y b y b b
' 2 8 2 2 3
' 2 0 2 0 0
  = − = + =
⇔ ⇒  
= − = + =  
Vậy phép đối xứng qua tâm I(3; 0) là phép cần tìm. 
Bài 4.6. Cho đường tròn (O,R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ sao cho 
MM MA MB' = +

 
 

. Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên (O,R). 
HD
Giải 
Gọi I là trung điểm của AB thì I cố định và MA MB MI2+ =

 
 

. 
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
12 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
Bởi vậy, MM MA MB MM MI' ' 2= + ⇔ =

 
 
 
 

 nghĩa là I là trung điểm của MM’ hay ĐI(M) = M’ 
Vậy khi M chạy trên đường tròn (O,R) thì quỹ tích M’ là ảnh của đường tròn đó qua ĐI 
Nếu ta gọi O’ điểm đối cứng của O qua điểm I thì quỹ tích của M’ là đường tròn (O’,R). 
I
O
M
O'
A
B
M'
Bài 4.7. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O, R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. 
Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn 
cố định. 
HD
Giải 
Ta vẽ đường kính AM của đường tròn. Khi đó 
BH // MC ( vì cùng vuông góc với AC), và CH 
// BM (vì cùng vuông góc với AB) hay BHCM 
là hình bình hành 
Nếu gọi I là trung điểm của BC thì I cũng là 
trung điểm của MH. 
Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H 
Khi A chạy trên (O, R) thì M chạy trên đường 
tròn (O; R). Do đó, H nằm trên đường tròn là 
ảnh của đường tròn (O, R) qua phép đối xứng 
tâm I. 
I
H
O
A
B C
M
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 4.8. Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục gíc đều, hình nào có tâm đối 
xứng ? 
Bài 4.9. Tìm một hình có vô số tâm đối xứng 
Bài 4.10. Cho tứ giác ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm D. 
Bài 4.11. Chứng minh rằng trong phép đối xứng tâm I nếu điểm M biến thành chính nó thì M phải trùng 
với I. 
Bài 4.12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm I(2; -3) và đường thẳng d có phương trình 3x + 2y – 1 = 
0. Tìm toạ độ điểm I’ và phương trình của đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và đường thẳng d qua
phép đối xứng tâm O.
Bài 4.13. Cho đường tròn (O;R), đường thẳng ∆ và điểm I. Tìm điểm A trên (O;R) và điểm B trên ∆ sao
cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Toán 11 - GV. Lư Sĩ Pháp 
13 
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng 
§5. PHÉP QUAY
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
- Trong mặt cho một điểm O cố định và góc lượng giác ϕ không đổi. Phép biến hình biến điểm O
thành chính nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng
OM OM( , ') ϕ= được gọi là phép quay tâm O góc quay ϕ .
- Điểm O gọi là tâm quay, ϕ gọi là góc quay.
- Kí hiệu: ( )OQ ,ϕ hoặc Q0
ϕ
- Chiều dương của phép quay ( )OQ ,ϕ theo chiều dương của đường tròn lượng giác. Ngược lại là 
chiều âm và còn kí hiệu ( )OQ , ϕ−
Nhận xét: 
 Phép quay tâm O, góc quay k k2 ,ϕ pi pi= + ∈ℤ chính là phép đối xứng tâm O
 Phép quay tâm O, góc quay k k2 ,ϕ pi= ∈ℤ , chính là phép đồng nhất.
2. Tính chất
Phép quay