Bài giảng Toán 11 - Chương III, Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc - Năm học 2022-2023 - Nguyễn Hà Nam

HÌNH HỌC 
Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. 
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
Bài 2 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
LỚP 
11 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
I 
VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
II 
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
III 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
IV 
Trả lời 
O 
Góc giữa 
hai vectơ 
Nêu cách xác định góc giữa hai vectơ và đều khác trong hình học phẳng. 
Câu 1 
Trong mặt phẳng cho hai véctơ và đều khác véc tơ và một điểm O bất kì. 
A 
B 
Trả lời 
a) Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng? 
 Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ? 
b) Điền vào bảng bên dưới. 
Câu 2 
 a) Trong mặt phẳng, cho , . 
Tích vô hướng của hai vectơ và là một số , kí hiệu 
 = .cos( ) 
Trả lời 
a) Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng? 
 Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ? 
b) Điền vào bảng bên dưới. 
Câu 2 
Khi ta được 
Góc 
cos 
 ( Hai véc tơ cùng hướng) 
 ( Hai véc tơ vuông góc) 
 ( Hai véc tơ ngược hướng) 
b) Cho và 
1 
0 
-1 
- 
0 
Hay 
 = .cos( ) 
A 
 
D 
 
B 
 
C 
Định nghĩa 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
Trong không gian, cho . 
, 
Kí hiệu là góc giữa hai vectơ và 
( AB , AC ) 
= BAC = 60 0 
( CD , DA ) 
= ADE = 12 0 0 
( CH , BC ) 
= HCF = 150 0 
	 Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ. 
Ví dụ 1: 
C 
 
B 
 
A 
 
 
H 
E 
 
F 
 
 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Trong không gian, cho . 
Định nghĩa 
Trong mặt phẳng, cho u , v 0. 
Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số , kí hiệu u . v 
u . v = |u| . |v| .cos( u , v ) 
Tính chất 
Quy ước : Nếu u = 0 hoặc v = 0 thì: 
u . v = 0 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Nhận xét 
* Nếu u và v cùng hướng thì 
u . v =|u|.|v| 
* Nếu u và v ngược hướng thì 
u . v = -|u|.|v| 
* Nếu u và v vuông góc thì 
u . v = 0 
* Ta có u 2 =|u| 2 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Bài tập : 
Dạng 1:Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian 
2 
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian 
 Phương pháp: 
Áp dụng công thức: 
- Sử dụng tính chất và các nhận xét. 
1 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
1 
 Phương pháp: 
Cách 1: Áp dụng định nghĩa góc của 2 véc tơ trong không gian. 
Cách 2: Sử dụng các nhận xét và tính chất 
Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian 
Bài giải 
Ví dụ 1 
Cho góc giữa và bằng . 
Tính tích vô hướng của hai véctơ và 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Bài giải 
Ví dụ 2 
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, 
 và tam giác ABC vuông tại A. Khi đó 
Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Ví dụ 3 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Bài giải 
 Cho hình lập phương có cạnh . Gọi là trung điểm . Giá trị là: 
A. . 	B. . 	 	C. . 	D. . 
Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
Bài giải 
Ví dụ 1 
Cho hình lập phương . 
Hãy tính góc giữa cặp vectơ và ? 
A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Ta có: (do là hình chữ nhật) 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
 . 
(Vì là hình vuông) 
Bài giải 
C 
O 
B 
M 
A 
cos(OM , BC) 
Mặt khác 
2 
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên : 
OA . OC = OA . OB = OB . OC = 0, OB = 1 
2 
Suy ra: 
Vậy: 
(OM , BC) = 120 0 
Ví dụ 2 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
	 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và . Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa hai vectơ và . 
Bài giải 
Ví dụ 3 
Cho hình chóp có , các cạnh còn lại đều bằng . 
Góc giữa hai vectơ và bằng 
A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Suy ra . 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
Ta có 
Bài giải 
Ví dụ 4 
Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ 
 và ? 
A. 	B. 	C. 	D. 
I 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
1 
Định nghĩa 
Vectơ a khác vectơ - không được gọi là 
vectơ chỉ phương của đường thẳng d 
nếu giá của vectơ song song hoặc trùng 
với đường thẳng d 
II 
VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
k a 
k 0 
(d) 
(d’) 
a 
(d) 
a 
(d) 
A 
 
d 1 // d 2 a , b cùng phương 
(d 1 ) 
a 
(d 2 ) 
b 
a 
b 
Bài giải 
Ví dụ 1 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Véctơ chỉ phương của đường 
thẳng AC là 
Vì A’C’//AC 
II 
VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
Định nghĩa 
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong 
không gian là góc giữa hai đường thẳng 
a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt 
song song với a và b 
III 
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
Gọi là góc giữa hai đường thẳng 
thì 0 0 90 0 
a 
b 
a 
b 
a’ 
O 
 
v 
u 
 
0 0 ( u , v ) 9 0 0 
a 
b 
Góc giữa hai đường t hẳng 
a và b bằn g ( u , v ) 
a 
b 
u 
( u , v ) > 90 0 
Góc giữa hai đường t hẳng 
a và b bằn g 180 0 – ( u , v ) 
b’ 
a’ 
O 
 
v 
 
Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng 
Phương pháp chung xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian? 
Chọn 1 điểm trên đường thẳng này và kẻ đường thẳng song song với đường kia. 
Bước 1: 
Dựa vào hệ thức lượng trong mặt phẳng để tính góc đó. 
Bước 2: 
Dựa vào tích vô hướng để tính góc giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng. 
Bước 1: 
Từ góc giữa 2 vectơ chỉ phương suy ra góc giữa 2 đường thẳng. 
Bước 2: 
Phương pháp dùng định nghĩa 
Ph ư ơng pháp 1: 
Phương pháp vectơ 
Ph ư ơng pháp 2: 
III 
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
Bài giải 
Ví dụ 1 
III 
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây: 
a) AB và B’C’	b) AC và B’C’	 
D 
 
D’ 
 
C’ 
 
C 
 
Góc giữa AB và B’C’ bằng góc 
ABC = 90 0 
Góc giữa AC và B’C’ bằng góc 
ACB = 45 0 
A’ 
 
B’ 
 
B 
 
A 
 
Bài giải 
Ví dụ 2 
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = 
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC. 
III 
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
Tam giác ABC có AB 2 + AC 2 = 2a 2 = BC 2 
nên tam giác ABC vuông tại A 
 = 0 
Tam giác SAB đều nên ( ) = 120 0 
Do đó: = a.a.cos120 0 = 
 = 120 0 
a 
a 
a 
A 
 
a 
B 
 
C 
 
S 
 
Ta có: 
Vậy: 
Bài giải 
Ví dụ 3 
III 
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
 Cho hình lập phương có , tương ứng là trung điểm của và . Góc giữa hai đường thẳng và bằng: 
	A. 45 o . 	B. 60 o 	C. 30 o . 	 D. 120 o . 
Vì là hình lập phương nên: 
 suy ra 
Suy ra tam giác là tam giác đều, suy ra . 
Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng . 
Gọi là trung điểm của 
Vì là hình vuông nên , 
suy ra góc giữa và bằng góc giữa và . 
Ta có ; ; 
Bài giải 
Ví dụ 4 
III 
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh là ; cạnh và vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của . Tính với là góc tạo bởi hai đường thẳng và . 
	A. . 	 	B. . 	C. . 	D. . 
 Gọi , lần lượt là trung điểm và . 
Suy ra 
 . 
Xét có , , . 
Khi đó 
 . 
Bài giải 
Ví dụ 5 
III 
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
 Cho tứ diện đều cạnh . Gọi là trung điểm của . Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng và ? 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Gọi là trung điểm . Khi đó 
 nên 
Dễ dàng tính được và . 
Vậy 
Trong , ta có : 
v 
IV 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
Định nghĩa 
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0 
Hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau được kí hiệu là a  b 
a 
b 
a 
c 
b 
b 
a 
a  b 
và a cắt b tại I 
a  b 
và a, b chéo nhau 
 
u 
b 
a 
I 
 
Bài giải 
Ví dụ 1 
IV 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm 
của AB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và PQ vuông góc nhau. 
Khi đó: 
Suy ra PQ  AB 
Ta có : PQ = PA + AC + CQ 
Và: PQ = PB + BD + DQ 
Do đó : 2PQ = AC + BD 
 PQ = ( AC + BD ) 
PQ . AB = ( AC + BD ).AB 
= ( AC . AB + BD . AB ) 
Vậy PQ . AB = 0 . 
B 
 
C 
 
D 
 
P 
 
Q 
 
A 
 
Bài giải 
Ví dụ 2 
IV 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
Cho hình lập phương . Góc giữa hai đường thẳng  và bằng 
A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Ta có: 
 . 
Suy ra 
Do đó góc giữa hai đường thẳng và là . 
Bài giải 
Ví dụ 3 
IV 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
Cho tứ diện đều . Khi đó góc giữa và bằng: 
A. . 	 B. . 	 	 C. . 	 	 D. . 
Giả sử tứ diện đều cạnh . 
Vậy góc giữa và bằng . 
Bài giải 
Ví dụ 4 
IV 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
Cho hình hộp có tất cả các cạnh bằng a và  . Chứng minh là hình vuông. 
Ta có: 
Vậy là hình bình hành. 
Mặt khác: 
Do đó là hình thoi. 
Ta lại có: 
Suy ra 
Vậy là hình vuông (đpcm). 
Bài giải 
Ví dụ 5 
IV 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
Cho tứ diện ABCD có . Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD . Cho biết . Chứng minh: 
Mà 
Từ (1) và (2) ta được: 
Vậy 
Vì IK là đường trung bình của tam giác BCD nên: 
Từ (*) và (**) ta suy ra 
Ta có: 
Bài giải 
Ví dụ 6 
IV 
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
Cho tứ diện có và 
 . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . 
Chứng minh đường thẳng và vuông góc. 
Lấy ta được: 
2 
 = 0 
Vậy suy ra . 
B 
 
u 
v 
C 
 
A 
 
0 0 ( u , v ) 180 0 
Góc giữa hai vectơ trong không gian 
0 0 90 0 
a 
b 
u 
v 
 
0 0 ( u , v ) 9 0 0 
 
u 
v 
( u , v ) > 90 0 
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian 
Hai đường thẳng vuông góc 
a  b = 90 0