Bài giảng Toán 11 - Chương III, Bài 3: Cấp số cộng - Năm học 2022-2023 - Hà Hoàng Nam - Trường THPT An Dương

Bài 3. CẤP SỐ CỘNG 
ĐỊNH NGHĨA 
I 
SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 
II 
TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG 
III 
TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ CỘNG 
IV 
LỚP 
11 
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 
Chương 3: DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 
Tầng 20 (tầng đáy) 
lon bia ? 
? 
Hỏi: Tầng thứ 20 có bao nhiêu lon bia? 
Bài tập mở đầu 
 Cho dãy số: 4, 7, 10, 13, Hãy chỉ ra mối liên hệ giữa hai số hạng liền kề và viết tiếp năm số hạng của dãy số đã cho? 
 Mối liên hệ giữa hai số hạng liền kề: 
4, 7, 10, 13, .. 
+ 3 
+ 3 
+ 3 
 Vậy: 
 Viết tiếp 5 số hạng: 4, 7, 10, 13, 
16 , 19 , 22 , 25 , 28 , 
 Công thức truy hồi của dãy số: 
Giải: 
Hãy nêu 
công thức truy hồi của dãy số? 
Bài tập mở đầu 
Cấp số cộng 
Công sai 
Hãy nêu công thức truy hồi của cấp số cộng 
có công sai d 
I 
 Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . Số d gọi là công sai. 
Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi. 
Ví dụ : 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 với 5, 0. 
 Nếu ( ) là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi: 
Đặc biệt: 
I. 
ĐỊNH NGHĨA: 
Ví dụ 1 
I 
 Nếu ( ) là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi: 
a) -15; -3; 9; 21; 33; 45. 
b) 2; 2; 2; 2; 2. 
c) 12; 9; 6; 3; 0. 
d) 5; 3; 1; 6; 7. 
I. 
ĐỊNH NGHĨA: 
 . 
 . 
Dãy nào sau đây không là cấp số cộng? 
Bài giải 
Ví dụ 2 
I 
 Nếu ( ) là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi: 
 Chứng minh dãy số 
 là cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công sai? 
I. 
ĐỊNH NGHĨA: 
 ta có:  
Do đó là cấp số cộng với và công sai . 
Cho cấp số cộng có số hạng đầu là và công sai d 
 + ? d 
Tổng quát: 
 + ? d 
 + ? d 
Định lí 1 
Cấp số cộng có số hạng đầu , công sai d có số hạng tổng quát là: 
 ( ) 
II. 
SỐ HẠNG TỔNG QUÁT: 
Bài toán: Cấp số cộng có và d = 3. Tính 
Tầng thứ 20 có 58 lon bia. 
Bài giải 
Ví dụ 3 
Cho cấp số cộng có và . 
 a) Tìm . 
 b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng? 
a) Ta có 
b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là 
 Vì nên 
 Do là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho 
III. 
TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG 
Cho cấp số cộng có u 1 = -4, u 2 = -1 . Biểu diễn các số hạng trên trục số. Nhận xét vị trí của mỗi điểm so với hai điểm liền kề. 
 Ta có u 1 = -4, u 2 = -1 suy ra công sai của cấp số cộng là d= u 2 - u 1 =3 
Năm số hạng đầu của cấp số cộng là 8 được biểu diễn bởi các điểm tương ứng trên hình vẽ 
Nhận xét: điểm là trung điểm của đoạn thẳng hay 
Ta cũng có kết quả tương tự với và 
Định lí 
1. 
Định lí 2 
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: 
 với 
Bài giải 
2 
 Ví dụ 
Ví dụ 4 
 Tìm để số: ; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng. 
Áp dụng tính chất của cấp số cộng với ta có: 
Ba số: ; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng 
 . 
Vậy thỏa mãn đề bài. 
IV. 
TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG 
Định lí 
1. 
Định lí 3 
Cho cấp số cộng . Đặt . Khi đó 
Chú ý 
Vì nên công thức có thể viết 
Bài giải 
2 
 Ví dụ 
Ví dụ 5 
Cho cấp số cộng biết . 
a) Tìm số hạng đầu tiên; công sai và tổng ? 
b) Biết . Tìm n ? 
a) Ta có: 
Vậy số hạng đầu tiên là ; công sai và tổng 
Bài giải 
2 
 Ví dụ 
Ví dụ 5 
Cho cấp số cộng biết . 
a ) Tìm số hạng đầu tiên; công sai và tổng ? 
b) Biết . Tìm n? 
b) Vì nên theo công thức ta có: 
Bài giải 
B 
LUYỆN TẬP 
1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 
Bài 1/Tr 97 
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó. 
a) 	b) 	c) 	d) 
V. 
a) , 
Phương pháp chung: Xét hiệu 
- Nếu là hằng số thì dãy số là cấp số cộng 
- Nếu không phải hằng số thì dãy số không phải là cấp số cộng 
vậy dãy số là cấp số cộng có 
Bài giải 
B 
LUYỆN TẬP 
1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 
Bài 1/Tr 97 
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó. 
a) 	b) 	c) 	d) 
d) , 
b) , 
 vậy dãy số là cấp số cộng có 
c) , 
 vậy dãy số không phải là cấp số cộng. 
vậy dãy số là cấp số công có 
V. 
Bài giải 
B 
LUYỆN TẬP 
1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 
Bài 2/Tr97 
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết 
a) 	b) 
Vậy 
Sử dụng công thức số hạng tổng quát 
 a) Ta có : 
Bài giải 
B 
LUYỆN TẬP 
1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 
Bài 2/Tr97 
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết 
a) 	b) 
Vậy và hoặc và 
b) Ta có: 
Bài giải 
B 
LUYỆN TẬP 
1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 
Bài 4/Tr 98 
 Mặt sàn của một ngôi nhà cao hơn mặt sân m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm bậc, mỗi bậc cao cm. 
a) Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân 
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân 
b) Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là 
a) Gọi chiều cao của bậc thứ so với mặt sân là 
2 
2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
B 
A 
 . 
C 
D 
B 
15 
54 
9 
6 
CÂU 1 
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? 
. 
Bài giải 
 . . 
 . 
Dãy số là cấp số cộng có công sai . 
 . 
Chọn B . 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
B 
A 
C 
D 
C 
15 
54 
9 
6 
CÂU 2 
Cho cấp số cộng có số hạng tổng quát là . Công sai của cấp số cộng là 
 . 
Bài giải 
 . 
 . 
Vì là cấp số cộng nên với ta có 
 . 
Vậy công sai của cấp số cộng là . 
Chọn C . 
B 
A 
C 
D 
C 
15 
54 
9 
6 
CÂU 3 
Trong các dãy sau, dãy nào là cấp số cộng? 
 . 
 . 
. 
Bài giải 
Xét từng phương án: 
Phương án A: , ta có nên dãy số không là đổi CSC Loại A. 
Phương án B: . Ta có: nên dãy số không là CSC Loại B. 
Phương án C: là dãy số là CSC 
Phương án D: . Ta có: nên dãy số không là CSC Loại D. 
Chọn C . 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
B 
A 
C 
D 
A 
15 
54 
9 
6 
CÂU 4 
Cho cấp số cộng có số hạng đầu , công sai . Số hạng thứ của bằng 
162. 
14. 
Bài giải 
30. 
 20 . 
Chọn A. 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
B 
A 
C 
D 
C 
15 
54 
9 
6 
CÂU 5 
Cho cấp số cộng có và . Số là số hạng thứ 
20. 
21. 
Bài giải 
19 . 
 18 . 
Áp dụng công thức , ta có . 
Chọn C. 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
B 
A 
C 
D 
A 
15 
54 
9 
6 
CÂU 6 
Biết bốn số theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức bằng 
14 . 
-2 . 
Bài giải 
12 . 
 -10 . 
Bốn số theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên theo tính chất của cấp số cộng ta có . 
Vậy 
Chọn A. 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
B 
A 
C 
D 
D 
15 
54 
9 
6 
CÂU 7 
Cho cấp số cộng có và . Tổng mười số hạng đầu của bằng 
60. 
-15 . 
Bài giải 
-30 . 
 0 . 
 . 
Chọn D. 
CẤP SỐ CỘNG 
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG 
 với 
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 
 với 
ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG 
Dãy số được gọi là cấp số cộng 
 , không đổi. 
IV. TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG 
Hoặc 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
B 
A 
C 
D 
C 
15 
54 
9 
6 
CÂU 2 
Cho cấp số cộng có số hạng tổng quát là . Công sai của cấp số cộng là 
 . 
Bài giải 
 . 
 . 
Vì là cấp số cộng nên với ta có 
 . 
Vậy công sai của cấp số cộng là . 
Chọn C .