Giáo án Đại số Lớp 11 - Bài 2: Giới hạn của hàm số

§2. Giới hạn của hàm số:
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Giới hạm cụa hàm số f(x) tại điểm x0 kí hiệu 
Định nghĩa 1: (SGK)
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lý 1: Nếu và (L, M Î R) thì:
Định lý 2: Giả sử . Khi đó:
Nếu f(x) ³ 0 "x Î J thì L ³ 0 và 
3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2: (SGK)
Định lí 2. khi và chỉ khi = 
 , , , , 
II. Gới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
1. Gới hạn vô cực	
Kí hiệu 
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Chú ý: 
a) nếu k là nguyên dương
b) nếu k là số lẻ
c) nếu k là số chẵn
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Dấu của g(x)
L
Tuỳ ý
0
L>0
0
+
-
L<0
+
-
Phương pháp làm bài tập (Các bài đơn giản)
1. Giới hạn tại một điểm. Tính 
 TH1: Nếu ta thay x = x0 vào biểu thức mà ta được giá trị thực là L, thì ta nói = L 
 TH2: Nếu ta thay x = x0 vào biểu thức mà khi đó gặp dạng tức là tử = 0 mà mẫu cũng = 0. Khi đó
 Nếu tử và mẫu là hai đa thức không chứa căn, ta chia tử và mẫu cho (x = x0) hoặc (x – x0)2
Nếu tử hoặc mẫu hoăc cả hai có chứa căn thức thì ta nhân chúng cho biểu thức liên hợp
Ví dụ:
a) = . Vậy 
b) có dạng nên ta chia tử và mẫu của biểu thức cho (x – 1) được
c) có dạng nên ta nhân tử và mẫu của biểu thức cho ta được
 = 
2. Gới hạn một bên của hàm số
Khi gặp dạng tính . Biết f(x) = 
Bài tập:
1. Tìm các giới hạn sau: 
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Tìm các giới hạn sau:
4. Cho hàm số . Tìm các giới hạn sau (nếu có)
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các giới hạn sau: 
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Tính 
4. Tìm các giới hạn sau:
5. Chứng minh rằng: 
6. Tìm các giới hạn sau:
§5. Giới hạn một bên:
Giới hạn bên trái của x0 kí hiệu , Giới hạn bên phải của x0 kí hiệu .
Định nghĩa 1: Û " dãy (xn), xn Î (x0, b), limxn = x0 thì limf(xn) = L.
Định nghĩa 3: Û " dãy (xn), xn Î (a, x0,), limxn = x0 thì limf(xn) = L.
* Nhận xét: 
Giới hạn vô cực:
* Các định nghĩa được nêu tương tự.
	* Nhận xét trên vẫn đúng cho giới hạn vô cực.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các giới hạn sau:
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Cho hàm số . Tìm các giới hạn sau (nếu có)
4. Cho thấu kính hội tụ có các tiêu điểm F, F’ với FF’ = 2f. Gọi d, d’ lần lượt là khoảng cách từ vật, từ ảnh tới thấu kính.
	a) Thiết lập hàm số j(d).
	b) Tìm và giải thích ý nghĩa.
5. Tìm các giới hạn sau:
6. Ta gọi phần nguyên của số thực x là một số nguyên không vượt quá x và ký hiệu là [x]. Hãy vẽ đồ thị hàm số y = [x] và tìm các giới hạn sau đây (nếu có).
§6. Vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:
Định lý: 
Quy tắc 1
Quy tắc 2
Dấu của L
Dấu của L
Dấu của g(x)
+¥
+
+¥
+
+
+¥
+¥
-
-¥
+
-
-¥
-¥
+
-¥
-
+
-¥
-¥
-
+¥
-
-
+¥
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các giới hạn sau: 
2. Tìm các giới hạn sau: 
3. Tìm các giới hạn sau: 
4. Tìm giới hạn:
5. Biết rằng . Tìm các giới hạn:
6. Tìm giới hạn 
7. Tìm các giới hạn sau:
8. Tìm các giới hạn sau:
§7. Các dạng vô định:
Trong chương trình, ta chỉ xét 4 dạng vô định là . Nguyên tắc chung để tìm giới hạn của 4 dạng này là phải khử dạng vô định.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các giới hạn sau:
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Tìm các giới hạn sau:
4. Tìm các giới hạn sau:
5. Tìm các giới hạn sau:
§8. Hàm số liên tục:
1. Hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số f(x) xác định trên (a; b) và x0 Î (a; b).
f(x) liên tục tại điểm x0 Û 
Hàm số không liên tục tại x0 được gọi lại gián đoạn tại điểm x0.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng:
Hàm số f(x) có xác định J. f(x) liên tục trên J Û f(x) liên tục tại "x0 Î J.
Hàm số f(x) xác định trên [a; b], f(x) liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trên (a; b) và 
Định lý 1: Các hàm số đa thức, phân thức, căn rhức và các hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục:
	Định lý 2: f(x) xác định trên [a; b]. Nếu f(a) ≠ f(b) thì "M nằm giữa f(a) và f(b), $c Î (a; b)ï f(c) = M.
	Hệ quả: f(x) liên tục trên [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì $c Î (a; b)ï f(c) = 0.
	Ý nghĩa hình học của hệ quả: f(x) liên tục trên [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại ít nhất một điểm có hoành độ c Î (a; b).
Bài tập áp dụng:
1. Xét sự liên tục của hàm số f(x) tại x = x0 đã cho và trên tập R.
2. Tìm a để f(x) liên tục tại x = 2. Vẽ đồ thị f(x)
 Tìm A, B để f(x) liên tục trên R.
3. Chứng minh rằng phương trình:
	a) x4 – 5x + 2 = 0 có nghiệm x0 Î (0; 1).
	b) x3 + 3x2 – 1 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
	c) x3 + ax2 + bx + c = 0 với 4a + 8b + 21c + 2 = 0 luôn có N0 x0 Î [-1; 0,5].
Bài tập ôn tập chương IV:
1. Tìm các giới hạn sau:
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Giải phương trình:
4. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
5. Chứng minh rằng phương trình:
a) sinx – x + 1 = 0;
b) m(x – 1)(x – 2) + (2x – 3)x3 = 0 luôn có nghiệm "m;
	c) atan2x + btanx + c = 0 có nghiệm trên khoảng 
d) ax3 + bx2 + cx + c = 0 với luôn có nghiệm x0 Î (0; 1);
	6. Chứng minh rằng phương trình x4 – x – 2 = 0 luôn có N0 x0 Î (1; 2) và