Giáo án Đại số Lớp 11 - Chủ đề: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chủ đề . ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
 - Giới thiệu chung chủ đề:Đạo hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất, quan trọng nhất của Giải tích toán học, nó xuất hiện trong hầu hết các dạng toán ở phân môn Giải tích trong chương trình phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống. Nội dung chủ đề này sẽ bước đầu giúp các em tìm hiểu về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm cùng với các dạng toán tính đạo hàm bằng định nghĩa, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
 -Thời lượng dự kiến: 3 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Học sinh hiểu được bài toán dẫn đến sự xuất hiện của đạo hàm, khái niệm đạo hàm từ một số bài toán vật lí.
- Biết được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.
- Biết được cách tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
- Biết được mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số.
- Biết được ý nghĩa hình học của đạo hàm, sự cần thiết nghiên cứu về đạo hàm.
2. Kĩ năng
- Biết tính được các đại lư ợng liên quan , , , 
- Biết tính đạo hàm của hàm số tại một điểm theo quy tắc.
- Biết nhận dạng một đồ thị hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại điểm đang xét.
- Biết vân dụng đạo hàm vào giải quyết một số bài toán liên quan: Tiếp tuyến, bài toán chuyển động, bài toán cường độ dòng điện, bài toán giới hạn...
3.Thái độ	
- Thái độ nhận thức đúng đắn, nghiêm túc trong việc nghiên cứu và phát triển bài học.
- Tư duy logic, tìm hiểu các kỹ năng đọc đồ thị.
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: 
+ Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá điều chỉnh kế hoạch học tập cho phù hợp với bản than; tự tìm ra sai sót của mình cũng như của bạn cùng hợp tác học tập để từ đó tìm tòi cách giải quyết, khắc phục sai sót đó. Biết đặt ra các câu pháp vấn hỏi các vấn đề xoay quanh lượng kiến thức bài học để từ đó khắc sâu được kiến thức cần tìm hiểu. 
+ Năng lực giải quyết vấn đề: Biết cách tiếp cận với câu hỏi, phân tích tìm hiểu nội dung chính của câu hỏi xoay quanh bài học và tìm nội dung của câu trả lời trong bài học đó; biết tự mình đặt những câu hỏi tương tự hoặc phủ định của câu hỏi vừa nghiên cứu, tiếp tục tìm câu trả lời và tăng thêm tình huống cho câu hỏi vừa nghiên cứu.
+ Năng lực tự quản lý: Học sinh biết tự điều chỉnh nhiệm vụ học tập của bài học cho hợp lý, tự mình xây dựng kế hoạch học tập và nghiên cứu bài học; làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập và biết liên hệ với cuộc sống những bài toán thân quen. Biết phân chia nhiệm vụ học tập và tìm hiểu bài học, câu trả lời cho từng thành viên nhóm nghiên cứu; biết cách kết hợp và tổng hợp kết quả nghiên cứu, câu trả lời cho từng vấn đề thảo luận, nghiên cứu.
+ Năng lực giao tiếp: Thông qua quá trình nghiên cứu, pháp vấn bài học, học sinh được trình bày kết quả nghiên cứu, đáp án cho các câu pháp vấn; đối đáp ứng xử trong nhóm thảo luận hài hòa hợp lý để đưa kết quả nghiên cứu được đánh giá cao nhất trong các nhóm nghiên cứu. Từ đó hình thành năng lực thuyết trình, năng lực giao tiếp, đối đáp, dẫn dắt ... của bản thân mình tốt hơn.
+ Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ học tập rõ ràng, phân chia và kết hợp các kết quả nghiên cứu của từng thành viên trong nhóm; thống kê tổng hợp kết quả một cách khoa học, có chủ đích.
+ Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Thông qua nghiên cứu nhiệm vụ học tập, học sinh trình bày bài nghiên cứu của mình nên việc lựa chọn ngôn ngữ viết, ngôn ngữ lập luận trình bày, ngôn ngữ chuyên ngành toán học và ý nghĩa các ký hiệu, cách viết một cách chuẩn xác và khoa học.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên:
- Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học. 
- Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề.
2. Học sinh:
- Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập. Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm sau khi đã thảo luận và thống nhất.
- Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn.
- Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG 1: TÌNH HUỐNG XUẤT PHÁT/ KHỞI ĐỘNG
* Mục tiêu: 
+ Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới.
+ Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái niệm đạo hàm.
Nội dung, phương thức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
- Chia thành các nhóm (nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực học) và tìm câu trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ.
HS Quan sát các hình ảnh (máy chiếu)
H1. Theo em ở bức ảnh dưới đây chú công an giao thông đang làm gì?
H2. Vận tốc của vận động viên tại các thời điểm khác nhau có bằng nhau không? Có tính được vận tốc tại thời điểm cụ thể được không?
H3. Một dòng điện chạy trong dây dẫn. Tính thời gian và cường độ dòng điện chạy qua dây dẫn tại thời điểm t0 đến t? Tính cường độ trung bình của dòng điện? 
- Dự kiến các câu trả lời:
TL1. Hình 1- Chú công an đang bắn tốc độ các loại xe.
TL2 Hình 2- Không 
HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
* Mục tiêu: Nắm được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm; quy tắc tính đạo hàm của hàm số tại một điểm; mối quan hệ giữa tính liên tục của hàm số và đạo hàm của hàm số; ý nghĩa hình học của đạo hàm.
Nội dung, phương thức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
(SGK)
Phương thức tổ chức: Học sinh nghiên cứu SGK, đưa ra định nghĩa về vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm .
Tại thời điểm t0 chất điểm có hoành độ s0=f(t0) Tại thời điểm t1 chất điểm có hoành độ s1=f(t1).Trong khoảng thời gian t1- t0 chất điểm đi được quãng đường s1- s0 = f(t1) – f(t0). Nếu chuyển động là đều thì vận tốc của chất điểm là .
Ta cólà vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0.
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
 Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên khoảng và . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) 
 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm và kí hiệu (hoặc , tức là .
Chú ý: 
Đại lượng gọi là số gia của đối số tại 
Đại lượng được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm, cùng nghiên cứu sách giáo khoa, và giải quyết ví dụ mà giáo viên đưa ra:
VD1: Cho hàm số . Tính biết , ; , .
VD2: Nếu không tồn tại giới hạn thì ta kết luận là gì?
VD3: Nếu kết quả của giới hạn là hoặc thì ta kết luận gì?
-Học sinh nắm được kết quả đạo hàm sẽ là kết quả hữu hạn nếu có của một giới hạn . 
- Học sinh hiểu được kí hiệu số gia của đối số và số gia của hàm số, sử dụng đúng đắn không nhầm lẫn .
- Các kết quả vô hạn hoặc không tồn tại của giới hạn nêu trên đều đưa đến kết luận là không tồn tại đạo hàm tại điểm đó. 
- GV Đánh giá chất lượng câu trả lời của nhóm trả lời, phân tích thêm và tìm ra cách để tính đạo hàm theo định nghĩa.
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Tính đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa:
QUY TẮC
Bước 1: Giả sử là số gia của đối số tại , tính
.
Bước 2: Lập tỉ số .
Bước 3: Tìm , và kết luận.
Phương thức tổ chức: Học sinh hoạt động theo nhóm dưới hình thức trợ sức: GV chiếu quy tắc lên và phân tích tính tối ưu của quy tắc, gọi học sinh 2 nhóm mỗi nhóm 1 người lên bảng làm ví dụ dưới đây, nếu HS nào không làm được thì bạn cùng nhóm được lên bảng hỗ trợ cùng. GV đánh giá và cho điểm mỗi nhóm.
VD4. Tính đạo hàm bằng định nghĩa của các hàm số sau tại các điểm đã được chỉ ra
a) tại điểm 
Phương thức: HS tính toán tại chỗ, sau đó lên bảng trình bày.
b) tại x0 = 0
- Học sinh nắm được quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa.
- Quá trình học sinh trình bày lời giải và hỗ trợ nhau, GV tìm ra những sai lầm, nghi vấn, thắc mắc và hỏi HS để tìm cách tháo gỡ thắc mắc: Chẳng hạn: Tính như thế nào? Vì sao lập tỉ số, ta có thể bỏ bước 2 mà làm luôn bước 3 được không? Ta có thể viết ngay từ đầu là được không?
- Kết quả thu được là học sinh hiểu các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa, quy từ bài toán đạo hàm về bài toán giới hạn đơn giản; nắm được hai kí hiệu mới là và .
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải, từ đó nêu cách tính đạo hàm bằng định nghĩa và đạo hàm trên một khoảng. HS viết bài vào vở.
*HS Tính được:
*HS: Gọi là số gia tại điểm x0 = 0, ta có:
Suy ra y’(0) = -2.
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Phương thức tổ chức: Học sinh nghe giáo viên trình bày
Xét hàm số
H1. Tính ?
H2. Nếu hàm số gián đoạn tại thì nó có đạo hàm tại điểm đó không?
H3. Nếu một hàm số liên tục tại 1 điểm có thể khẳng định được hàm số đó có đạo hàm tại điểm đó hay không?
ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
CHÚ Ý:
a) Định lí trên tương đương với khẳng định: Nếu hàm số gián đoạn tại điểm thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
b) Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng.
Ví dụ 1. Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số đã cho, tính đạo hàm tại x=0.
TL. 
Þ không tồn tại 
TL. Þ không có f¢(0).
TL. Nếu hàm số gián đoạn tại thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. Nếu một hàm số liên tục tại 1 điểm chưa thể khẳng định được hàm số đó có đạo hàm tại điểm đó hay không.
Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải, từ đó nêu định lí về quan hệ giữa đạo hàm và liên tục. HS viết bài vào vở.
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a) Tiếp tuyến của đường cong
Cho hàm số có đồ thị .
+) Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của .
+) Điểm : tiếp điểm
Phương thức tổ chức: Học sinh hoạt động nhóm, thảo luận về các vấn đều sau:
* Hệ số góc của đường thẳng là gì? 
* Các trường hợp thường gặp dấu hệ số góc? (Tiếp tuyến song song với đường thẳng, tiếp tuyến vuông góc, tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox góc , tiếp tuyến tạo với trục Ox góc , tiếp tuyến tạo với một đường thẳng khác góc )
* Đường thẳng cát tuyến, đường thẳng tiếp tuyến
Đại diện nhóm đứng tại chỗ trả lời từng vấn đề được nêu trên, nếu không trả lời được thành viên tiếp theo của nhóm sẽ trả lời, nhóm khác được quyền hỏi pháp vấn xung quanh các câu trả lời nêu trên nếu như thấy chưa thỏa đáng.
- Biết được tiếp tuyến của một đường cong khác thay vì tiếp tuyến của đường tròn trước đây.
- Biết và hiểu rõ thêm về hệ số góc của đường thẳng, cách lập phương trình đường thẳng khi biết nó đi qua một điểm và biết hệ số góc (học trong hình học 10).
- Tăng khả năng thuyết trình và pháp vấn trong quá trình nghiên cứu đường thẳng có hệ số góc trong chương này, đặc biệt là gắn với bài toán tiếp tuyến.
- Biết được mối liên hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến với đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm. Từ đó xây dựng định lí 2
b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số xác định trên khoảng và có đạo hàm tại điểm . Gọi là đồ thị của hàm số đó.
ĐỊNH LÍ 2: Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm .
Vd7: Cho hàm số . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm .
A. . B. . C. . D. .
vd8: Tìm đường thẳng có hệ số góc là 3 và đi qua điểm trong các đường thẳng dưới đây?
A. . B. .
C. . D. .
vd9: Cho hàm số . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm .
vd10: Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm. 
Phương thức tổ chức: Học sinh hoạt động theo dãy lớp, từng nhóm nhỏ suy nghĩ và trả lời, trong nhóm được hỗ trợ nhau. Đúng 10 điểm, tổng điểm chia bình quân cho các nhóm nhỏ.
- Biết được mối liên hệ hệ số góc của tiếp tuyến với đạo hàm của hàm số.
- Hình thành thuật toán lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
- Nắm được 3 yếu tố cơ bản để lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Tăng tốc độ giải quyết nhanh các bài toán trắc nghiệm.
- Học sinh phát hiện ra cách tính đạo hàm tại một điểm bằng máy tính bỏ túi
Trong vd7:
c) Phương trình tiếp tuyến
ĐỊNH LÍ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm là:
vd11: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1.
vd12: Cho hai hàm số và đều có đạo hàm trên và thỏa mãn , . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là
A. .	B. .	 C. .	 D. .
Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm, cá nhân lên bảng trình bày. Đúng cho 10 điểm, được quyền hỗ trợ lẫn nhau trong nhóm.
- Biết được cách lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm trong các trường hợp.
- Hiểu bản chất bài toán lập phương trình tiếp tuyến là đi tìm những yếu tố gì? (3 yếu tố , và ). Từ đó giải quyết vd12.
- Sau bài này học sinh hiểu bản chất bài toán tiếp tuyến, ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán hàm ẩn trong quá trình ôn luyện.
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
a) Vận tốc tức thời: 
 Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , với là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm là .
Gia tốc .
b) Cường độ tức thời:
Nếu điện lượng truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian (hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm là .
VD13: Tính vận tốc của vật chuyển động thẳng tại thời điểm so với thời điểm bắt đầu chuyển động, biết quãng đường đi được của vật .
b
b)
- Biết ứng dụng của đạo hàm vào trong các môn học khác, đặc biệt là môn vật lí.
- Biết mối quan hệ giữa các đại lượng vật lí khi biểu diễn với nhau qua tương quan hàm số.
Học sinh nghiên cứu, biết cách quy lạ về quen, rèn luyện tính liên môn trong quá trình học tập và sự liên hệ thực tế.
II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
ĐỊNH NGHĨA: Hàm số được gọi là có đạo hàm trên một khoảng nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
Phương thức tổ chức: Học sinh đọc sách giáo khoa, nghe giảng.
- Biết được hàm số có đạo hàm trên một khoảng thì sẽ có đạo hàm trên các khoảng con của nó.
- Biết được đạo hàm trên nửa khoảng, trên đoạn. (đọc phần đọc thêm SGK trang 154-155)
HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP
Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài 1: Tìm số gia của hàm số , biết rằng:
a) ; .
b) ; .
- Ghi nhớ công thức
; 
Kết quả:
 a) .
b) 
Bài 2: Tính và của các hàm số sau theo và 
a) . b) . c) . d) .
- Ghi nhớ công thức
Kết quả:
a) ;.
b) ; .
c) ; 
d) ; . 
Bài 3: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra
a) tại .
b) tại .
c) tại . 
- Biết cách tính đạo hàm bằng định nghĩa (theo quy tắc 3 bước).
Kết quả:
a) .
b) .
c) .
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại điểm nhưng có đạo hàm tại điểm . 
- Biết dựa vào tính gián đoạn của hàm số để chỉ ra không có đạo hàm tại điểm .
- Tại , hàm số nhận vì . Sử dụng tính đạo hàm bằng định nghĩa để tính tại . Từ đó kết luận hàm số có đạo hàm tại 2.
Kết quả:
*) 
*) .
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong .
a) Tại điểm .
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
- Ghi nhớ công thức 
Kết quả: 
a) .
b) .
c) , .
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol .
a) Tại điểm .
b) Tại điểm có hoành độ bằng .
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng .
- Ghi nhớ công thức 
Kết quả: 
a) .
b) .
c) , .
Bài 7: Một vật rơi tự do theo phương trình , trong đó là gia tốc trọng trường.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ đến , trong các trường hợp ; ; ; 
b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm .
- Ghi nhớ công thức tính vận tốc trung bình . Vận tốc tức thời .
Kết quả:
a) * Với .
; 
 . 
.
* Với : .
* Với : .
b) .
 HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG , TÌM TÒI MỞ RỘNG
Mục tiêu: Tìm hiểu ứng dụng của đạo hàm trong thực tế
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Nội dung:
Tìm hiểu ứng dụng của đạo hàm trong thực tế (áp dụng trong khoa học kỹ thuật)
* Phương thức tổ chức: hoạt động nhóm tìm hiểu qua iternet, sách báo. HS viết báo cáo.
* Sản phẩm: Các ứng dụng của đạo hàm.
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT
Số gia của hàm số tại điểm ứng với số gia bằng bao nhiêu? 
A. .	B. .	C. .	D. . 
Cho hàm số . Giá trị bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. . 
Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
THÔNG HIỂU
Cho hàm số . Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu?
A. .	B. .
C. .	D. Nhiều hơn nghiệm. 
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có phương trình là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có phương trình là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có hệ số góc bằng bao nhiêu?
A..	B..	C..	D..
VẬN DỤNG
Cho hàm số có đồ thị . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có tung độ bằng là
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hàm số có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng : ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm vuông góc với đường thẳng . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
VẬN DỤNG CAO
Cho hàm số có đồ thị . Tìm trên tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới .
A. .	B. và .
C. Không tồn tại.	D. .
V. PHỤ LỤC