Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
PHÉP BIẾN HÌNH
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: 
Phép biến hình là một quy tắc để mỗi điểm của mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất thuộc mặt phẳng đó .
2. Kí hiệu và thuật ngữ:
Gọi là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và một phép biến hình :
- Điểm gọi là ảnh của điểm qua phép biến hình , hay là điểm tạo ảnh của điểm .
- Nếu là một hình nào đó thì ( gồm các điểm là ảnh của ) được gọi là anh của qua phép biến hình .
- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình và . Gọi là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. là ảnh của qua , là ảnh của qua .
Ta nói, là ảnh của trong tích của hai phép biến hình và . Ký hiệu 
PHÉP TỊNH TIẾN
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .
Phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là: , được gọi là vectơ tịnh tiến.
Ta có: 
Phép tịnh tiến theo vecto – không chính là phép đồng nhất. 
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm thành hai điểm thì , từ đó suy ra . 
Tính chất 2:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
3. Biểu thức tọa độ:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ . Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ có biểu thức tọa độ: 
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến.
Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến.
Tìm quĩ tích điểm thông qua phép tịnh tiến.
Ứng dụng phép tịnh tiến vào các bài toán hình học khác ...
Kết luận nào sau đây là sai?
A.	B. 
C. 	C. 
Lời giải:
Đáp án D
Ta có . Vậy D sai.
STUDY TIP
Định nghĩa phép tịnh tiến: .
Giả sử . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. .	B. 
C..	D. là hình bình hành.
Lời giải:
Đáp án D
Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng.
không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.
Cho hai đường thẳng và cắt nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến thành 
A. Không.	B. Một.	C. Hai.	D. Vô số.
Đáp án A
Lời giải:
Do phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên không có phép tịnh tiến nào biến thành .
Cho hình vuông tâm . Gọi lần lượt là trung điểm . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến tam giác thành 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có 
Cho hình bình hành tâm . Kết luận nào sau đây là sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có . Vậy D sai
Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa (hình D), hình nào có phép tịnh tiến?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Đáp án D
Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến theo một hướng xác định.
Cho đường tròn có tâm và đường kính . Gọi là tiếp tuyến của tại điểm . Phép tịnh tiến theo vectơ biến thành:
A. Đường kính của đường tròn song song với .
B. Tiếp tuyến của tại điểm .
C. Tiếp tuyến của song song với .
D. Đường thẳng song song với và đi qua 
Lời giải:
Đáp án B.
Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm .
 Cho hai điểm cố định trên đường tròn và thay đổi trên đường tròn đó, là đường kính. Khi đó quỹ tích trực tâm của là:
A. Đoạn thẳng nối từ tới chân đường cao thuộc của .
B. Cung tròn của đường tròn đường kính .
C. Đường tròn tâm bán kính là ảnh của qua .
D. Đường tròn tâm , bán kính là ảnh của qua .
Lời giải:
Đáp án D.
Kẻ đường kính là hình bình hành(Vì và cùng vuông góc với một đường thẳng)
.
Vậy thuộc đường tròn tâm , bán kính là ảnh của qua .
Cho hình bình hành , hai điểm cố định, tâm di động trên đường tròn . Khi đó quỹ tích trung điểm của cạnh :
A. là đường tròn là ảnh của qua là trung điểm của .
B. là đường tròn là ảnh của qua là trung điểm của .
C. là đường thẳng .
D. là đường tròn tâm bán kính .
Lời giải:
Đáp án B.
Gọi là trung điểm của cố định.
Ta có .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp
1. Xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
2. Xác định ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ .
Cách 1. Chọn hai điểm phân biệt trên , xác định ảnh tương ứng. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh .
Cách 2. Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương với nó.
Cách 3. Sử dụng quỹ tích.
Với mọi thì .
Từ biểu thức tọa độ ta được thế và phương trình ta được phương trình .
3. Xác định ảnh của một hình (đường tròn, elip, parabol )
- Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm thuộc hình , thì thuộc ảnh ’ của hình .
- Với đường tròn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính hoặc sử dụng quỹ tích.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Tìm tọa độ diểm là ảnh của qua phép tịnh tiến theo véctơ .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Ta có .
STUDY TIP
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm , biết là ảnh của qua phép tịnh tiến theo véctơ . Tìm tọa độ điểm .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có: 
.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm và điểm là ảnh cảu qua phép tịnh tiến theo véctơ . Tìm tọa độ véctơ .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án D.
Ta có: .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm và véctơ . Ơ. Phép tịnh tiến theo véctơ biến thành hai điểm tương ứng. Tính độ dài .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án A. 
Ta có .
STUDY TIP
Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
Trong mặt phẳng tọa độ , cho biết , , . Phép tịnh tiến theo véctơ biến thành tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Ta có tọa độ trọng tâm là ; .
.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến trọng tâm của thành trọng tâm của 
Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đườn thẳng là ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Cách 1:
Chọn .
Chọn .
 đường thẳng chính là đường thẳng .
Đường thẳng qua và có một véctơ pháp tuyến có phương trình là:.
STUDY TIP
Hai đường thẳng cùng phương thì có hai véctơ pháp tuyến cùng phương.
Cách 2. 
 là hai đường thẳng cùng phương nên có dạng .
Chọn .
Vậy phương trình .
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
Lấy .
Ta có 
Thay vào ta được .
Vậy .
Nhận xét: Độc giả sử dụng cách 3 tỏ ra có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng cho nhiều loại hình khác nhau.
Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đường tròn là ảnh cảu đường tròn qua với .
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Ta có: đường tròn có tâm , bán kính .
Suy ra: .
Vậy đường tròn có tâm , bán kính có phương trình:
.
Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
Gọi 
Thế vào phương trình đường tròn , ta có:
Vậy .
Study Tip
Phương trình đường tròn có tâm bán kính 
Phương trình đường tròn có tâm bán kính 
Cho vectơ sao cho khi tịnh tiến đồ thị theo vectơ ta nhận được đồ thị hàm số . Tính .
 A. .	B..	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Từ giả thiết ta có: 
Đồng nhất thức ta được: .
Study Tip
Đồng nhất thức của 2 đa thức các hệ số của các đa thức tương ứng bằng nhau.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm , . Biết . Tìm tọa độ của vectơ để có thể thực hiện phép tịnh tiến biến điểm thành điểm 
A. .	B..	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có: 
Mà 
Do đó: .
Study Tip
Ta có sơ đồ tổng quát:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình bình hành với điểm , điểm thuộc đường thẳng . Tìm quỹ tích đỉnh ?
A. Là đường thẳng có phương trình .	
B. Là đường thẳng có phương trình .	
C. Là đường thẳng có phương trình .	
D. Là đường tròn có phương trình .
Đáp án A.
Lời giải:
Vì hình bình hành nên 
Vậy quỹ tích điểm là đường thẳng song song với . Ta tìm được phương trình .
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng . Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ có giá song song với biến thành đi qua 
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án D.
Lời giải:
Véc tơ có giá song song với 
Gọi 
Thế vào phương trình mà đi qua nên .
Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng và . Tìm tọa độ có phương vuông góc với và biến đường thẳng thành .
 A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án D.
Lời giải:
Gọi , ta có 
Thế vào phương trình đường thẳng : 
Từ giả thiết suy ra 
Véc tơ chỉ phương của là . Do 
Giải hệ và ta được .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó? 
A. .	B..	C. .	D. Vô số.
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó?
A. .	B..	C. .	D. Vô số.
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó?
A. .	B..	C. .	D. Vô số.
Phép tịnh tiến không bảo toàn yếu tố nào sau đây?
A. Khoảng cách giữa hai điểm.	B. Thứ tự ba điểm thẳng hàng.	
C. Tọa độ của điểm.	D. Diện tích.
Với hai điểm phân biệt và với . Mệnh đề nào sau đây đúng? 
A. .	B..	C. .	D..
Cho hai đường thẳng và song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến theo vectơ biến thành ?
A. .	B..	C. .	D. Vô số.
Cho hình bình hành . Phép tịnh tiến biến điểm thành điểm nào?
A. đối xứng với qua .	B. đối xứng với qua .	
C. là giao điểm của qua .	D. .
Cho tam giác có trọng tâm , . Mệnh đề nào là đúng? 
A.là trung điểm . 	
B. trùng với . 	
C. là đỉnh thứ tư của hình bình hành . 	
D. là đỉnh thứ tư của hình bình hành .
Cho lục giác đều tâm . Tìm ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ . 
A..	B. .	C. .	D. .
Cho hình bình hành tâm . Kết luận nào sau đây sai? 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình vuông tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến thành ? 
A..	B..	C..	D..
Cho hình bình hành . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng và biến đường thẳng thành đường thẳng ? 
A. .	B..	C. .	D. Vô số.
Cho đường tròn và hai điểm . Một điểm thay đổi trên đường tròn . Tìm quỹ tích điểm sao cho . 
A..	B. .	C. .	D. .
Cho tứ giác lồi có , và .Tính độ dài . 
A..	B. .	C. .	D. .
Cho tứ giác có , . Tính độ dài . 
A..	B. .	C. .	D. .
Trên đoạn cố định dựng hình bình hành sao cho . Tìm quỹ tích đỉnh . 
A. Đường tròn tâm , bán kính là . 	B. Đường tròn tâm , bán kính là . 	
C. Đường tròn tâm , bán kính là . 	D. Đường tròn tâm , bán kính là . 
Cho hai đường tròn có bán kính cắt nhau tại . Đường trung trực của cắt các đường tròn tại và sao cho nằm cùng một phía với . Tính . 
A..	B. .	C. .	D. .
Cho hai đường tròn có bán kính tiếp xúc ngoài với nhau tại . Trên đường tròn này lấy điểm , trên đường tròn kia lấy điểm sao cho . Độ dài bằng bao nhiêu? 
A..	B. .	C. .	D. .
Từ đỉnh của hình bình hành kẻ các đường cao và của nó biết . Khoảng cách từ đến trực tâm của tam giác có giá trị bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C..	D..
DẠNG 2. XAC DỊNH ẢNH CỦA MỘT DIỂM HOẶC HINH QUA PHEP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHAP TỌA DỘ
Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ điểm là ảnh của điểm qua phép tịnh tiến theo vectơ 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ và điểm Hỏi là ảnh của điểm nào sau đây qua phép tịnh tiến theo vectơ 
A. .	B..	C..	D..
Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm , và . Tìm vectơ 
A. .	B..	C..	D..
Trong mặt phẳng tọa độ, biết điểm là ảnh của điểm qua và điểm là ảnh của qua . Tìm tọa độ vectơ 
A. .	B..	C..	D..
Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm lần lượt là ảnh của các điểm qua phép tịnh tiến theo vectơ . Tính độ dài vectơ 
A..	B..	C..	D..
Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có các điểm . là trọng tâm tam giác và phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm thành . Tìm tọa độ biết 
A. .	B..	C..	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng và vectơ . Khi đó ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo vectơ là 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho và đường thẳng . Hỏi là ảnh của đường thẳng nào sau đây qua 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng và đường thẳng . Tìm tọa độ vectơ biết 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến theo 
A. .	B. .	
C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho và đường tròn . Ảnh của qua phép tịnh tiến là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ, cho và đường cong . Ảnh của qua phép tịn tiến là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ, cho elip và véc tơ . Ảnh của qua phép tịn tiến là:
A. .	B. .	
C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ, với là những số cho trước, xét phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm trong đó: . Cho hai điểm , , gọi lần lượt là ảnh của qua phép biến hình . Khi đó khoảng cách giữa và bằng: 
A. .	B. .	
C. .	D. .
Cho véc tơ sao cho khi phép tịnh tiến đồ thị theo véc tơ ta nhận đồ thị hàm số . Khi đó tích bằng: 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ, cho và đường thẳng , . Tìm tọa độ có phương vuông góc với đường thẳng để là ảnh của qua phép tịnh tiến . Khi đó bằng: 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ, cho phép biến hình xác định như sau: Với mỗi điểm ta có điểm sao cho thỏa mãn: . Mệnh đề nào sau đây đúng: 
A. là phép tịnh tiến theo .	B. là phép tịnh tiến theo .	
C. là phép tịnh tiến theo .	D. là phép tịnh tiến theo .
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm . Gọi lần lượt là ảnh của qua phép tịnh tiến theo . Kết luận nào sau đây là đúng: 
A. là hình vuông.	B. là hình bình hành.	
C. là hình bình hành.	D. thẳng hàng.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng có phương trình , và hai điểm . Lấy trên , trên trục hoành sao cho vuông góc với và nhỏ nhất. Tìm tọa độ , ?
A. .	B. .	
C. .	D. .
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN 
Đáp án D.
Khi véc tơ của phép tịnh tiến có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho thì sẽ có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó.
Đáp án B.
Khi : Đường tròn có tâm thì biến đường tròn thành chính nó.
Đáp án B.
Khi có một phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó.
Đáp án C.
Khi tọa độ của véc tơ tịnh tiến .
Đáp án B.
Ta chỉ ra được là hình bình hành 
Đáp án D.
Chẳng hạn lấy bất kỳ , thành nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn. 
Đáp án D.
Ta có .
Đáp án C.
Ta có là hình bình hành.
Đáp án B.
Ta có .
Đáp án D.
Ta có nên đáp án D sai.
Đáp án A.
Từ hình vẽ ta có .
Đáp án B.
Từ hình vẽ ta có 
 với là các đoạn thẳng.
, với là đoạn thẳng nên có một phép tịnh tiến thỏa mãn.
Đáp án A.
Ta có : .
Vậy tập hợp điểm là ảnh của đường tròn qua .
Đáp án C.
Xét 
Khi đó cân tại .
 đều.
 và 
Do đó (áp dụng định lí cosin).
.
Đáp án C.
Xét là hình bình hành.
 và 
Ta có 
 và là nửa tam giác đều.
Vậy cân tại . 
Đáp án D.
Chọn hệ trục về chiều dương như hình vẽ.
Cố định . Với 
Từ giả thiết 
 (do ).
.
Suy ra quỹ tích là đường tròn tâm , bán kính ( là điểm đối xứng của qua )
Ta có 
Vậy quỹ tích của là đường tròn tâm , bán kính .
Đáp án C.
Giả sử trung trực cắt tại , cắt tại ( ở giữa )
(Bạn đọc tự vẽ hình)
Thực hiện phép trịnh tiến theo vectơ đường tròn biến thành đường tròn . vì vậy biến thành , biến trhành , biến thành .
 là hình bình hành nội tiếp nên là hình chữ nhật. Vậy .
Đáp án D.
(Bạn đọc tự vẽ hình).
Sử dụng phép tịnh tiến theo vectơ thì biến thành , thành . Vì vậy .
Đáp án A.
Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ ta có :
 biến thành , biến thành , biến thành 
Ta có vuông tại và nên .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.
Đáp án B.
Đáp án B.
Theo biểu thức tọa độ 
Đáp án B.
Ta có 
Đáp án A.
Ta có .
Đáp án C.
Ta có .
Đáp án A.
Ta tìm được 
 .
Đáp án A.
Ảnh của có dạng 
Chọn thế vào 
 .
Đáp án D.
Điểm biến thành thay vào
 .
Đáp án C.
Chọn 
Thử đáp án C (thỏa mãn)
Đáp án B.
Đường tròn có tâm , bán kính 
Ta có .
Đáp án C.
Đường tròn có tâm , bán kính 
Ta có 
Vậy đường tròn ảnh là 
Đáp án B.
Sử dụng quỹ tích điểm : Thay vào ta được đáp án B.
Đáp án A.
Sử dụng quỹ tích điểm : với mọi điểm 
Thay vào ta được đáp án A.
Đáp án A.
Ta có 	
 .
Đáp án C.
Ta có 
 .
Đáp án C.
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là 
 , với 
 có dạng 
Vì qua .
Để .
Đáp án C.
Thật vậy theo biểu thức tọa độ của . 
Đáp án D.
 thẳng hàng.
Đáp án B.
Cách 1 : Thử các tọa độ ta được kết quả nhỏ nhất với và .
Cách 2 : 
Gọi sao cho .
Gọi là phép tịnh tiến theo vectơ 
Gọi với 
 nhỏ nhất nhỏ nhất ( không đổi)
Dấu xảy ra khi 
Lấy , điểm cần tìm là giao điểm của và trục hoành.
Gọi 
Vì và cùng phương nên và .
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. LÝ THUYẾT
I. Phép đối xứng trục
1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua một đường thẳng là phép biến hình biến điểm thành điểm đối xứng với qua đường thẳng .
Kí hiệu : (là trục đối xứng)
 với là hình chiếu của trên .
 là trung trực của đoạn .
2. Tính chất
Tính chất 1 : Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Tính chất 2 : Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
3. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng gọi là trục đối xứng của hình H nếu biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có trục đối xứng.
4. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ : 
Nếu 
Nếu 
II. Phép đối xứng tâm
1. Định nghĩa
Cho điểm . Phép biến hình biến điểm thành chính nó, biến mỗi điểm khác thành sao cho là trung điểm được gọi là phép đối xứng tâm .
Kí hiệu: ( là tâm đối xứng)
Nếu .
Nếu là trung điểm của .
2. Tính chất
Tính chất 1 : Nếu và thì , từ đó suy ra .
Tính chất 2 : Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
3. Tâm đối xứng của một hình.
Điểm được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.
4. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ , cho , gọi và với 
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM
DẠNG 1. KHAI THÁC DỊNH NGHĨA, TINH CHẤT VA ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM.
Phương pháp :
- Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Tìm quỹ tích điểm thông qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Vận dụng đối xứng trục, đối xứng tâm để giải các bài toán hình học khác 
Cho đường thẳng . Qua phép đối xứng trục , đường thẳng nào biến thành chính nó.
A. Các đường thẳng song song với .	
B. Các đường thẳng vuông góc với .	
C. Các đường thẳng hợp với một góc .	
D. Các đường thẳng hợp với một góc .
Đáp án B.
Lời giải:
Giả sử là đường thẳng vuông góc với .
Lấy và và ngược lại vẫn thỏa mãn . 
Cho hai đường thẳng cắt nhau và . có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng này thành đường thẳng kia?
A. Không có.	B. Một.	C. Hai.	D. Vô số.
Lời giải:
Đáp án C.
Có phép đối xứng trục với các trục là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau và . 
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình vuông có vô số trục đối xứng.
B. Hình chữ nhật có trục đối xứng.
C. Tam giác đều có vô số trục đối xứng .	
D. Tam giác cân nhưng không đều có trục đối xứng.
Lời giải:
Đáp án D.
Tam giác cân nhưng không đều có một trục đối xứng là đường cao ứng với đỉnh của tam giác cân đó.
Hình nào dưới đây có một tâm đối xứng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Hình C có một tâm đối xứng tại giao điểm của hai đường chéo.
Giải sử phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cắt .	B. Nếu thì .
C. Nếu qua thì cắt .	D. và cắt nhau tại .
Lời giải:
Đáp án B
Thật vậy, . Qua phép đối xứng tâm ta được ảnh là , .
Mệnh đề nào sau đây là sai:
A. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có một tâm đối xứng.	
B. Hình vuông có một tâm đối xứng.
C. Hình gồm hai đường tròn bằng nhau có một tâm đối xứng.
D. Đường elip có vô số tâm đối xứng.
Lời giải:
Đáp án D
Đường elip có một tâm đối xứng.
Cho đường thẳng và hai điểm nằm cùng phía với . Gọi đối xứng với , đối xứng với qua . là điểm trên thỏa mãn nhỏ nhất. Chọn mệnh đề sai:
A. Góc giữa và bằng góc giữa và .
B. là giao điểm của và .
C. là giao điểm của và .
D. là giao điểm của và 
Lời giải:
Đáp án D
Với do 
.
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .
Với mọi tứ giác , kí hiệu là diện tích tứ giác . Chọn mệnh đề đúng:
A. 	B. 
C. 	D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Sử dụng phép đối xứng trục qua đường trung trực . Gọi đối xứng với qua trung trực của 
Do , 
Cho hai điểm phân biệt. Gọi là phép đối xứng qua . Với điểm bất kì, gọi , . Gọi là phép biến hình biến thành . Chọn mệnh đề đúng:
A. không là phép dời hình	B. là phép đối xứng trục.
C. là phép đối xứng tâm.	D. là phép tịnh tiến.
Lời giải:
Đáp án D
Ta có: , .
 . Vậy là phép tịnh tiến theo vectơ .
Cho và đường tròn tâm . Trên đoạn , lấy điểm sao cho , là trung điểm của và là đỉnh thứ tư của hình bình hành . Với mỗi điểm trên ta dựng điểm sao cho . Khi đó tập hợp điểm khi thay đổi là:
A. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua .	
B. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua 
C. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm 
D. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm .
Lời giải:
Đáp án A
Gọi là điểm xác định bởi .
Khi đó .
Mặt khác là hình bình hành nên nên .
Từ giả thiết hay 
 khi di động trên thì di động trên đường là ảnh của qua phép đối xứng tâm .
DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp:
Xác định ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
Xác định ảnh của đường thẳng qua hình qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
Cách 1: Chọn hai điểm phân biệt trên , xác định ảnh tương ứng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh .
Cách 2:
Dựa vào vị trí tương đối của đường thẳng và trục đối xứng để tìm ảnh .
Áp dụng tính chất phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
Với mọi điểm qua phép đối xứng trục hoặc đối xứng tâm sẽ biến thành .
Từ biểu thức tọa độ rút thế vào phương trình đường thẳng ta được phương trình đường thẳng ảnh .
Xác định ảnh của một hình (đường tròn, elips, parabol..)
Sử dụng quỹ tích: với mọi điểm thuộc hình , qua phép đối xứng trục hoặc đối xứng tâm sẽ biến thành thì thuộc ảnh của hình .
Với đường tròn áp dụng tính chất phép đối xứng trục hoặc đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính hoặc sử dụng quỹ tích.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho phép biến hình .
Chọn mệnh đề đúng:
A. là phép đối xứng trục . 
B. là phép đối xứng trục .
C. là phép đối xứng với trục đối xứng là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.	
D. là phép đối xứng trục với trục là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
Lời giải:
Đáp án C
Trong mặt phẳng tọa độ , cho phép đối xứng trục , với là đường thẳng có phương trình: . Lấy ; thành điểm có tọa độ bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án C
Ta có . Gọi là trung điểm 
 là vectơ pháp tuyến của , và cùng phương và 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho . Tìm ảnh của qua phép đối xứng tâm .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án C
Ta có: . 
Trong mặt phẳng tọa độ , phép đối xứng tâm biến thành thì có tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có: 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm và .Phép đối xứng trục biến điểm thành có trục có phương trình:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có: là trung trực của 
Gọi 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng . Ảnh của qua phép đối xứng trục tung có phương trình:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án B
Lấy đối xứng với qua .
Vậy ảnh của qua phép đối xứng trục tung là: 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai đường thẳng , . Gọi là ảnh của qua phép đối xứng trục . Phương trình của là: 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án A
Lấy qua phép đối xứng trục là .
Với 
 có phương trình 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng . Tìm ảnh đối xứng với qua đường thẳng . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án A
Xét hệ phương trình: 
Chọn . Gọi là ảnh của qua ta tìm được 
 là vectơ pháp tuyến của .
Vậy phương trình đường thẳng là: 
Trong mặt phẳng tọa độ , ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng tâm là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Sử dụng phương pháp quỹ tích, ta có: 
Thế vào phương trình ta có: 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn có phương trình: . Tìm ảnh đường tròn của qua phép đối xứng trục .
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Phương pháp quỹ tích: từ biểu thức tọa độ 
.
Vậy phương trình đường tròn là .
Study tip: Phép đối xứng trục : 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn có phương trình: . Tìm ảnh đường tròn của qua phép đối xứng tâm .
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Cách 1: Với mọi qua phép đối xứng tâm ta được 
. Thế vào ta có:
Vậy đường tròn : .
Cách 2: Đường tròn có tâm , bán kính , .
Vậy đường tròn : .
PHÉP QUAY
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Trong mặt phẳng cho điểm cố định và góc lượng giác không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm 
thành điểm sao cho và được gọi là phép quay tâm góc quay .
Kí hiệu: ( là tâm phép quay, là góc quay lượng giác).
Nhận xét: 
Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác (chiều kim đồng hồ).
Với ta luôn có:
Phép quay: 
 là phép đồng nhất; 
 là phép đối xứng tâm. 
Study tip: 
2. Tính chất.
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 1: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Study tip. Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự.
Nhận xét: Gọi là góc của phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng : 
 Góc nếu ; góc nếu .
3. Biểu thức tọa độ của phép quay
Trong mặt phẳng với hệ trục , xét phép quay 
Trường hợp 1: Khi tâm quay trùng với gốc tọa độ .
Đặt và góc góc 
Hay 
Nếu thì 
Study tip: 
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Trường hợp 2: Khi tâm quay . Ta có:
Study tip: 
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP QUAY
DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG PHÉP QUAY
Phương pháp chung:
Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép quay.
Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép quay.
Tìm quỹ tích điểm thông qua phép quay.
Các yếu tố liên quan đến phép quay là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông từ đó ứng dụng phép quay để giải các bài toán hình học khác.
Giả sử . Khi đó mệnh đề nào sau đây sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án A.
 với là góc lượng giác.
Trong khi đó đáp án A: (không là góc lượng giác)
Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm , góc quay 
A. Không có.	B. Một.	C. Hai.	D. Vô số.
Lời giải:
Đáp án B.
khi tâm quay.
Cho hình chữ nhật có tâm . Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm , góc quay , , biến hình chữ nhật thành chính nó?
A. Không có.	B. Một.	C. Hai.	D. Vô số.
Lời giải:
Đáp án C.
Khi góc quay hoặc thì phép quay biến hình chữ nhật thành chính nó.
Cho tam giác đều có tâm . Phép quay tâm , góc quay biến tam giác đều thành chính nó thì góc quay là góc nào sau đây:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Chọn giờ làm mốc, khi kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao nhiêu độ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Khi kim giờ chỉ đến một giờ đúng thì kim phút quay được đúng một vòng theo chiều âm và được một góc là .
Study tip: Chiều dương của góc quay là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm của góc quay là chiều cùng chiều kim đồng hồ.
Trong các chữ cái và số sau, dãy các chữ cái và số khi ta thực hiện phép quay tâm , góc quay thì ta được một phép đồng nhất ( là tâm đối xứng của các chữ cái hoặc số đó).
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có: 
Study tip: Phép biến hình thành chính nó ta được phép đồng nhất.
Cho hình vuông tâm , là trung điểm của , là trung điểm của . Tìm ảnh của tam giác qua phép quay tâm góc quay .
A. với lần lượt là trung điểm của .	
B. với lần lượt là trung điểm của .	
C. với lần lượt là trung điểm của .	
D. với lần lượt là trung điểm của .
Lời giải:
Đáp án D.
Ta có: 
 là trung điểm . 
 là trung điểm . 
Gọi là tâm đối xứng của các hình . Khi thực hiện phép quay tâm góc quay thì hình nào luôn được phép đồng nhất?
 A. 	 B. C. D. 
Lời giải:
Đáp án C.
Từ hình C ta có qua phép ta luôn được một hình là chính nó.
Cho hình vuông có cạnh và có các đỉnh vẽ theo chiều dương. Các đường chéo cắt nhau tại . Trên cạnh lấy . Xác định phép biến đổi thành biết là tâm quay.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Ta có: lại có 
 tâm là giao điểm của trung trực và cung chứa góc đi qua .
Cho đường thẳng và điểm cố định không thuộc , là điểm di động trên . Tìm tập hợp điểm sao cho tam giác đều.
A. chạy trên là ảnh của qua phép quay .	
B. chạy trên là ảnh của qua phép quay .	
C. chạy trên và lần lượt là ảnh của qua phép quay và .	
D. là ảnh của qua phép quay .
Đáp án C
 đềuvà 
Vì vậy khi chạy trên thì chạy trên là ảnh của qua và chạy trên là ảnh của qua .
DẠNG 2. Xác định ảnh của điểm