Đề thi chọn hsg lớp 11 THPT cấp trường - Môn: Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2020-2021
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4,0 điểm). 
a) Tìm để hàm số có tập xác định là 
b) Giải phương trình: 
Câu 2 (2,0 điểm). Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối. Do không còn phù hợp bác muốn thay thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây. Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không có hai cây nào gần nhau.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niu – tơn của 
Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số được xác định bởi:
. Tính 
Câu 5 (2,0 điểm). Giải bất phương trình 
Câu 6 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có . là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho và . Tìm tọa độ điểm D biết .
Câu 7 (4,0 điểm). Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và các cạnh bên đều bằng . Gọi là điểm nằm trên sao cho .
a. Gọi là mặt phẳng chứa và song song với Tính theo diện tích thiết diện tạo bởi và hình chóp 
b. là một điểm thay đổi trên cạnh . Xác định vị trí điểm để vuông góc với 
Câu 8 (2,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bẳng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:.
-------------Hết-----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .. . . . .; Số báo danh 
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
(Đáp án có 06 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2020-2021
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
	Nội dung trình bày
Điểm
1
Câu 1 (4,0 điểm). 
a) Tìm để hàm số có tập xác định là 
b) Giải phương trình: 
1a.(2,0 điểm)
Hàm số có tập xác định là khi và chỉ khi 
0,5
Ta có: 
0,5
 với 
0,5
Do nên 
Vậy 
0,5
1b.(2,0 điểm)
Điều kiện:
Suy ra 
0,5
0,5
0,5
Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm ,
0,5
2
Câu 2 (2,0 điểm). Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối. Do không còn phù hợp bác muốn thay thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây. Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không có hai cây nào gần nhau.
Số phần tử của không gian mẫu là 
Trường hợp 1: Cả 4 cây được chặt ở gần nhau có 20 cách
0,5
Trường hợp 2: Trong 4 được chặt có đúng 3 cây gần nhau
- Chặt 3 cây gần nhau có 20 cách
- Mỗi 3 cây gần nhau có 15 cây không gần 3 cây đó. Vậy trường hợp này có:
20 X 15 = 300 cách 
0,5
Trường hợp 3: Trong 4 cây được chặt có đúng 2 cây gần nhau:
- Chặt đúng 2 cây ở gần nhau có 20 cách
- Với mỗi 2 cây gần nhau có 16 cây không ở gần hai cây này. Trong 16 cây lại có 15 cặp cây gần nhau. Chọn hai cây không gần nhau trong 16 cây có: 
Vậy trường hợp này có: 20.105 = 2100 cách
0,5
Trường hợp 4: Trong 4 cây được chặt có đúng hai cặp cây gần nhau
- Chọn một cặp cây gần nhau có 20 cách
- Mỗi cách chọn một cặp cây gần nhau lại có 15 cặp cây gần nhau được chọn từ 16 cây. Vậy trường hợp này có cách
Vậy 
Suy ra: 
0,5
3
Câu 3 (2,0 điểm). Cho là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niu – tơn của 
ĐK: n nguyên dương, ta có tương đương với 
0,5
Với ta có 
Xét khai triển: , suy ra hệ số chứa ứng với và ta có 
Xét khai triển: , suy ra hệ số chứa ứng với và ta có 
1,0
Vậy hệ số của trong khai triển là: 
0,5
4
Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số được xác định bởi:
. Tính 
0,75
Đặt: . Ta có và . 
Suy ra 
0,75
Suy ra 
0,5
5
Câu 5 (2,0 điểm). Giải bất phương trình 
 Điều kiện 
 Ta có nên 
Do đó bất phương trình 
0,5
Nếu thì bất phương trình trở thành (vô lý)
Nếu thì bất phương trình 
0,5
Đặt với , bất phương trình trở thành 
0,5
Với thì 
Vậy bất phương trình có nghiệm là 
0,5
6
Câu 6 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có . là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho và . Tìm tọa độ điểm D biết .
Gọi E là điểm thứ tư của hình bình hành MABE, dễ thấy MECD cũng là hình bình hành nên 
Mà suy ra hay tứ giác BECM nội tiếp. 
Suy ra 
0,5
Ta có hay vuông tại M
0,5
Vì . 
Ta có .
0,5
Giả sử ta có .
Giải hệ phương trình trên được hai nghiệm: 
Vậy có hai điểm D thỏa mãn đề bài là: 
0,5
7
Câu 7 (4,0 điểm). Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và các cạnh bên đều bằng . Gọi là điểm nằm trên sao cho .
a. Gọi là mặt phẳng chứa và song song với Tính theo diện tích thiết diện tạo bởi và hình chóp 
b. là một điểm thay đổi trên cạnh . Xác định vị trí điểm để vuông góc với 
7a.(2 điểm)
Từ kẻ . Khẳng định thiết diện là tam giác 
0,5
Ta có: 
Xét có: =
0,5
Có 
Suy ra 
0,5
Diện tích thiết diện là: (đvdt).
0,5
7b (2,0 điểm)
Đặt . Kẻ nên 
Suy ra .
0,5
0,5
Để vuông góc điều kiện là: do 
 do 
0,5
Do đều nên Do đó 
Vậy thuộc đoạn thỏa mãn 
0,5
8
Câu 8 (2,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bẳng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:.
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bẳng 1 nên 
0,25
0,5
Ta có 
Tương tự ta có :
0,75
Suy ra 
Dấu đẳng thức xảy ra đạt được 
0,5
----------------------Hết----------------------