Bài tập Đại số Lớp 11 - Chủ đề: Phương trình lượng giác - Trịnh Hòa Duy

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾt
Dạng toán 1: Phương trình lượng giác cơ bản
 1. Phương trình: 
* Nếu: Phương trình vô nghiệm
* Nếu: 
 ().
Chú ý : * Nếu thỏa mãn thì ta viết .
*Các trường hợp đặc biệt:
1. 
2 
3. 
2. Phương trình: 
* Nếu: phương trình vô nghiệm
* Nếu: 
 ().
Chú ý : * Nếu thỏa mãn thì ta viết .
* Các trường hợp đặc biệt:
1. 
2. 
3. 
3. Phương trình : 
Với 
 .
Chú ý : * Nếu thỏa mãn thì ta viết . 
* Các trường hợp đặc biệt: 
1. 
2. 
3. 
4. Phương trình: 
Với 
.
Chú ý : * Nếu thỏa mãn thì ta viết .
* Các trường hợp đặc biệt:
 1. 
2. 
3. 
Ghi chú: 
* * 
* 
* 
Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: ; với và .
Cách giải: Chia hai vế cho và đặt 
. (2).
Chú ý:
 (1) có nghiệm có nghiệm.
 .
Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác
Là phương trình có dạng : 
Cách giải: Đặt ta có phương trình : 
Giải phương trình này ta tìm được , từ đó tìm được 
Khi đặt , ta co điều kiện: 
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. 
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là .
Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ
Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng (3’)
Để giải phương trình này ta cũng đặt 
Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. 2. 
3. 	 	 4. 
Lời giải:
1. Phương trình 
, .
2. Phương trình 
.
3. Phương trình 
.
4. Phương trình 
.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1. 	2. 
3. 	 	4. 
5. 
6. 	 	7. 
Lời giải:
1. Phương trình 
2. Ta có 
Nên phương trình đã cho tương đương với
.
3. Phương trình 
4. Phương trình 
 hoặc 
5. Phương trình 
.
6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:
Phương trình 
.
7. Phương trình 
.
Nhận xét: 
* Ở ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác .
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt 
Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng .
Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
1. 	2. 
3. 	 	4. 
5. 	6. 
7. 
Lời giải:
1. Phương trình .
2. Phương trình 
.
3. Ta có phương trình vô nghiệm.
4. Phương trình 
, .
5. Phương trình 
.
6. Phương trình 
, .
7. Phương trình 
 .
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1. 2. 
Lời giải:
1. Phương trình 
 Xét phương trình . Do và nên ta có các giá trị của 
Từ đó ta có các nghiệm: 
 Xét phương trình . Ta có các giá trị của là: 
Từ đó ta tìm được các nghiệm là: 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: .
2. Phương trình 
, .
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
1. 
2. 
3. 	4. 
Lời giải:
1. Phương trình 
.
2. Phương trình đã cho tương đương với
 hoặc 
 hoặc 
3. Điều kiện : 
Phương trình 
.
4. Điều kiện : .
Phương trình 
.
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
1. 	2. 
3. 
Lời giải:
1. Phương trình 
 (Do )
2. Phương trình 
 (do không là nghiệm của hệ)
3. Điều kiện: 
Phương trình 
.
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
1. 	2. 
3.	4. 
Lời giải:
1. Nhận thấy không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho ta được:
.
2. Phương trình 
Do không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho ta được:
.
3. Phương trình đã cho tương đương với
.
4. Phương trình 
(Do ).
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
1. 	2. 
3.	4. 
Lời giải:
1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung nên ta tìm cách đưa về cùng một cung . 
Phương trình 
.
Đặt . 
Ta có: .
* 
* .
Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau
phương trình 
.
2. Vì trong phương trình chứa các cung hơn nữa còn chứa hàm số côsin lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung .
Phương trình 
.
3. Trong phương trình có ba cung nên ta tìm cách chuyển ba cung này về cùng một cung x
Ta có: 
Phương trình 
.
.
4. Ta chuyển cung 2x về cung x.
Phương trình 
.
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
1. 	
2. 
Lời giải:
1. Ta có: và nên 
Phương trình 
. 
Suy ra nghiệm cần tìm là .
2. Điều kiện .
Ta có : 
 .
Phương trình đã cho 
. 
Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là: 
.
Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :
Lời giải:
 Nếu 
 Với ta có: 
Vì 
Suy ra .
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 11. 
1. Cho là hai nghiệm của phương trình . Tính giá trị của biểu thức sau 
2. Cho là hai nghiệm của phương trình (). Tính giá trị của biểu thức theo 
Lời giải:
1. Theo định lí Viét ta có: 
Suy ra .
Ta có: 
2. Theo định lí Viét ta có: 
Suy ra .
Ta có: 
 .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP (có đáp án chi tiết)
Bài 1. Giải phương trình 
	A. ,	B. ,	C. ,	D. ,
Lời giải:
Phương trình 
, 
Bài 2. Giải phương trình 
	A. ,	B. ,	
	C. .	D. ,
Lời giải:
Phương trình 
, 
Bài 3. Giải phương trình 
	A. , 	B. , 
	C. , 	D. , 
Lời giải:
Phương trình 
, 
Bài 4. Giải phương trình 
	A. ,	B. ,
	C. ,	D. ,
Lời giải:
Phương trình 
, .
Bài 5. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 6. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
.
Bài 7. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 8. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 9. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 10. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình .
Bài 11. Giải phương trình 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình .
Bài 12. Giải phương trình
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
.
Bài 13. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 14. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 15. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 16. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 17. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 18. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 19. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình .
Bài 20. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Kết hợp điều kiện ta có: là nghiệm của phương trình
Bài 21. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là với 
Bài 22. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình .
Bài 23. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình .
Bài 24. Số nghiệm của phương trình 
	A. 4	B. 3	C. 2	D. 5
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình: .
Bài 25. Cho phương trình kết luận nào sau đây về phương trình là đúng?
	A. Có 1 nghiệm	B. Có 2 nghiệm	C. Có vô số nghiệm	D. Vô nghiệm
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm.
Bài 26. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Ta có: 
Nên phương trình 
 là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 27. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. D. 
Lời giải:
Phương trình 
Do 
Bài 28. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
.
Bài 29. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 30. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 31. Cho phương trình khẳng định nào sao đây là đúng?
	A. Có 1 nghiệm	B. Vô nghiệm	C. Có 4 nghiệm	D. Có 2 họ nghiệm
Lời giải:
Phương trình 
Phương trình vô nghiệm.
Bài 32. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 33. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
.
Bài 34. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: .
Bài 35. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình. 
Bài 36. Khẳng định nào đúng về phương trình 
	A. Có 1 họ nghiệm	B. Có 2 họ nghiệm	C. Vô nghiệm	D. Có 1 nghiệm duy nhất
Lời giải:
Phương trình 
 phương trình vô nghiệm.
Bài 37. Giải phương trình 
	A. hoặc .
	B. hoặc .
	C. hoặc .
	D. hoặc .
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
 hoặc 
 hoặc .
Bài 38. Giải phương trình 
	A. hoặc 
	B. hoặc 
	C. hoặc 
	D. hoặc 
Lời giải:
Phương trình 
 hoặc 
 hoặc 
Bài 39. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 40. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 41. Giải phương trình 
	A. , 	B. , 
	C. , 	D. , 
Lời giải:
Phương trình 
Đặt . 
Thay vào phương trình ta có: 
, .
Bài 42. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Đặt . 
Thay vào phương trình ta được: 
Bài 43. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Đặt 
Thay vào phương trình ta có được:
.
Bài 44. Giải phương trình . 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Đặt . 
Thay vào phương trình ta được: 
.
Bài 45. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 46. Giải phương trình 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 47. Giải phương trình . 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 48. Giải phương trình . 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình .
Bài 49. Giải phương trình . 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 50. Giải phương trình . 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 51. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 52. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 53. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 54. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 55. Giải phương trình là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình hoặc 
Bài 57. Giải phương trình là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình hoặc 
.
Bài 58. Cho phương trình , Khẳng định nào sau đây đúng?
	A. Có 1 nghiệm	B. Có 2 họ nghiệm	C. Vô nghiệm	D. Vô số nghiệm
Lời giải:
Phương trình 
 vô nghiệm
Bài 59. Giải phương trình là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 60. Giải phương trình 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 61. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 62 . Giải phương trình là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 63. Giải phương trình là:
	A. hoặc 
	B. hoặc 
	C. hoặc 
	D. hoặc 
Lời giải:
Phương trình 
 với 
 hoặc 
Bài 64. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Kết hợp điều kiện ta có .
Bài 65. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 66. Giải phương trình 
	A. hoặc 	
	B. hoặc 
	C. hoặc 
	D. hoặc 
Lời giải:
Đặt 
Ta có : 
Bài 67. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Đặt 
Ta có: 
.
Bài 68. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Đặt 
Ta có: 
Từ đó ta tìm được: 
Bài 69. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiên: 
Phương trình 
Đặt 
Ta có: 
Từ đó tìm được: 
Bài 70. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Đặt 
Ta có: 
Bài 71. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Từ đó ta tìm được: 
Bài 72. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Đặt 
Ta có: 
Lời giải:
Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Bài 73. Phương trình 
Đặt 
Ta có: 
Bài 74. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Giải ra ta được .
Bài 75. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình .
Bài 77. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
.
Bài 78. Giải phương trình 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 79. Giải phương trình 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải:
Ta thấy không là nghiệm của phương trình
Nên phương trình 
.
Bài 80. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
Bài 81. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
vì không là nghiệm của phương trình nên ta có
.
Cách khác: 
Bài 82. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
.
Bài 83. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
.
Bài 84. Giải phương trình 
	A. ;	B. ;
	C. ;	D. ;
Lời giải:
Đặt , ta có phương trình :.
* .
* .
Bài 85. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
.
Bài 86. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
Bài 87. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
.
Bài 88. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Ta có 
 .
Nên đặt ta được phương trình:
.
Bài 89. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Đặt 
Nên phương trình đã cho trở thành:
.
Bài 90. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 91. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
. Phương trình
Bài 92. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 93. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 94. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 95. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 96. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 97. Giải phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 98. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 99. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Bài 100. Giải phương trình 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ĐÁP ÁN KHÔNG CHI TIẾT)
Câu 1. Phương trình chỉ có các nghiệm là 
	A. và ().	B. và ().
	C. và ().	D. và ().
Câu 2.Phương trình chỉ có các nghiệm là 
	A. và ().	B. và ().
	C. và ().	D. và ().
Câu 3. Phương trình chỉ có các nghiệm là 	
	A. ().	B. ().
	C. ().	D. ().
Câu 4. Phương trình chỉ có các nghiệm là 
	A. ().	B. ().
	C. ().	D. ().
Câu 5. Phương trình chỉ có các nghiệm là 
	A. ().	B. ().
	C. và ().	D. và ().
Câu 6. Phương trình chỉ có các nghiệm là 
	A. ().	B. ().
	C. ().	D. ().
Câu 7. Phương trình chỉ có các nghiệm là 
	A. và ().	B. và ().	
	C. và ().	D. và ().	
Câu 8. Phương trình chỉ có các nghiệm là 
	A. và ().	B. và ().	
	C. và ().	D. và ().	
Câu 9. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình ?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình ?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình ?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình ?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình ?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 14 Phương trình chỉ có các nghiệm là 
	A. và ().	B. và ().
	C. và ().	D. . và ().
Câu 15. Trên khoảng , phương trình 
	A. chỉ có các nghiệm là .	B. chỉ có các nghiệm là .
	C. chỉ có các nghiệm là ().	D. có các nghiệm khác với các nghiệm ở trên.
Câu 16. Phương trình 
	A. vô nghiệm.	
	B. chỉ có các nghiệm là ().
	C. chỉ có các nghiệm là ().
	D. chỉ có các nghiệm là và ().
Câu 17. Phương trình 
	A. vô nghiệm.
	B. chỉ có các nghiệm là ().
	C. chỉ có các nghiệm là ().
	D. chỉ có các nghiệm là và ().
Câu 18. Phương trình 
	A. vô nghiệm.
	B. chỉ có các nghiệm là ().
	C. chỉ có các nghiệm là ().
	D. chỉ có các nghiệm là và ().
Câu 19. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 20. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 21. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 22. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 23. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 24. Phương trình chỉ có các nghiệm là
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 25. Phương trình chỉ có các nghiệm là
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 26. Phương trình chỉ có các nghiệm là
	A. .	B. .C. .	D. .
Câu 27. Phương trình (với là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 28. Phương trình (với là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 29. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 30. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 31. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 32. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 33. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 34. Phương trình () có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 35. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 36. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 37. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 38. Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 39. Phương trình có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 40. Phương trình có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 41 Phương trình 
	A. vô nghiệm.	B. chỉ có các nghiệm .
	C. chỉ có các nghiệm 	D. . chỉ có các nghiệm 	
Câu 42. Phương trình 
	A. vô nghiệm.	B. chỉ có các nghiệm .
	C. chỉ có các nghiệm .	D. . chỉ có các nghiệm .	
Câu 43. Phương trình 
	A. vô nghiệm.	B. chỉ có các nghiệm .
	C. chỉ có các nghiệm .	D. . chỉ có các nghiệm .
Câu 44. Phương trình 
	A. vô nghiệm.	B. chỉ có các nghiệm .
	C. chỉ có các nghiệm .	D. chỉ có các nghiệm .
Câu 45. Phương trình 
	A. chỉ có các nghiệm ..	B. chỉ có các nghiệm .
	C. chỉ có các nghiệm .	D. vô nghiệm.
Câu 46. Phương trình 
	A. chỉ có các nghiệm .	B. chỉ có các nghiệm .
	C. chỉ có các nghiệm .	D. vô nghiệm.
Câu 47. Phương trình 
	A. vô nghiệm. 	B. chỉ có các nghiệm .
	C. chỉ có các nghiệm .	D. chỉ có các nghiệm và .
Câu 48. Tổng các nghiệm thuộc khoảng của phương trình bằng:
	A. 0 	B. 	B. 	D. 
Câu 49. Số nghiệm thuộc của phương trình là:
	A. 2	B. 4	C. 6	D. 8
Câu 50. Hiệu giữa nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất trên của phương trình là:
	A. 0	B. 	C. 	D. 
Câu 51. Tất cả các nghiệm của phương trình là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 52. Tích các nghiệm thuộc của phương trình bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 53. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 54. Hiệu giữa nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình bằng
	A. 0	B. 	C. 	D. 
Câu 55. Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 56. Số nghiệm của phương trình thuộc là:
	A. 2	B. 1	C. 4	D. 3
Câu 57. Tổng các nghiệm của phương trình thuộc là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 58. Số nghiệm của phương trình thuộc là:
	A. 2	B. 0	C. 1	D. 3
Câu 59. Tổng các nghiệm thuộc của phương trình là:
	A. 	B. 	C. 	D. 0
Câu 60. Số nghiệm thuộc của phương trình là:
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Câu 61. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 62. Số nghiệm của phương trình trong khoảng là:
	A. 3	B. 2	C. 1	D. 0
Câu 63. Cho phương trình . Có hai bạn giải được hai đáp án sau:
	A. I, II cùng sai	B. Chỉ I đúng	C. Chỉ II đúng	D. I, II cùng đúng
Câu 64. Cho phương trình . Trong các số sau, số nào là họ nghiệm của phương trình trên:
	I. 	II. 	III. 	IV. 
	Chọn câu trả lời đúng nhất.
	A. Chỉ I, IV đúng	B. Chỉ I đúng	C. Chỉ IV đúng	D. I, II, III, IV cùng đúng
Câu 65. Cho phương trình . Có ba bạn giải được 3 kết quả sau:
	A. Chỉ I đúng	B. Chỉ II đúng	C. Chỉ III đúng	D. Cả ba đều đúng
Câu 66. Phương trình có mấy nghiệm thuộc khoảng ?
	A. 2	B. 3	C. 4	D. 5
Câu 67. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là:
	A. 	B. 	C. 	D. Một đáp án khác
Câu 68. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là:
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khac
Câu 69. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng là:
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác
Câu 70. Tổng các nghiệm của phương trình trên là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 71. Phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp số khác
Câu 72. Phương trình có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 73. Số nghiệm của phương trình trên là:
	A. 15	B. 16	C. 17	D. 18
ĐÁP ÁN
Câu 1
Câu 2
Câu 3
C
C
B
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
Câu 11
Câu 12
Câu 13
B
A
C
B
B
C
D
B
D
C
Câu 14
Câu 15
Câu 16
Câu 17
Câu 18
Câu 19
Câu 20
Câu 21
Câu 22
Câu 23
C
D
D
D
D
D
B
C
A
B
Câu 24
Câu 25
Câu 26
Câu 27
Câu 28
Câu 29
Câu 30
Câu 31
Câu 32
Câu 33
C
D
A
D
D
C
D
D
C
D
Câu 34
Câu 35
Câu 36
Câu 37
Câu 38
Câu 39
Câu 40
Câu 41
Câu 42
Câu 43
D
D
A
D
A
B
A
D
C
D
Câu 44
Câu 45
Câu 46
Câu 47
B
C
A
D
BÀI TẬP TỰ LUYỆN KHÔNG CÓ ĐÁP ÁN
Câu 1. Nghiệm của phương trình sinx = 1 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2. Nghiệm của phương trình sinx = –1 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3. Nghiệm của phương trình sinx = là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4. Nghiệm của phương trình cosx = 1 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5. Nghiệm của phương trình cosx = –1 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6. Nghiệm của phương trình cosx = là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 7. Nghiệm của phương trình cosx = – là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8. Nghiệm của phương trình cos2x = là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 9. Nghiệm của phương trình + 3tanx = 0 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 10. Nghiệm của phương trình sin3x = sinx là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 11. Nghiệm của phương trình sinx.cosx = 0 là:	
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12. Nghiệm của phương trình cos3x = cosx là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 13. Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:
	A. 	B. 
	C. 	`D. 
Câu 14. Nghiệm của phương trình sin2x – sinx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < 
	A. 	B. 	C. x = 0	D. 
Câu 15. Nghiệm của phương trình sin2x + sinx = 0 thỏa điều kiện: < x < 
	A. 	B. 	C. x = 	D. 
Câu 16. Nghiệm của phương trình cos2x – cosx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < 
	A. 	B. 	C. x = 	D. 
Câu 17. Nghiệm của phương trình cos2x + cosx = 0 thỏa điều kiện: < x < 
	A. 	B. 	C. x = 	D. 
Câu 18. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 0 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Câu 19. Nghiệm của phương trình 2sin(4x –) – 1 = 0 là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 20. Nghiệm của phương trình 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 thỏa điều kiện: x < 
	A. 	B. 	C. x = 	D. 
Câu 21. Nghiệm của phương trình 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 22. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 1 là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 	
Câu 23. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = –1 là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 24. Nghiệm của phương trình sinx + cosx = là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 25. Nghiêm của pt sinx.cosx.cos2x = 0 là:
 	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 26. Nghiêm của pt 3.cos2x = – 8.cosx – 5 là:
 	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 27. Nghiêm của pt cotgx + = 0 là:
 	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 28. Nghiêm của pt sinx + .cosx = 0 la:
 	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 29. Nghiêm của pt 2.sinx.cosx = 1 là:
 	A. 	B. 	C. 	 D. 
Câu 30. Nghiêm của pt sin2x = 1 là
	 A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 31. Nghiệm của pt 2.cos2x = –2 là:
 	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 32. Nghiệm của pt sinx + là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 33. Nghiệm của pt cos2x – cosx = 0 là :
 	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 34. Nghiêm của pt sin2x = – sinx + 2 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 35. Nghiêm của pt sin4x – cos4x = 0 là:
 	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 36. Xét các phương trình lượng giác:
 (I ) sinx + cosx = 3	, (II ) 2.sinx + 3.cosx = 	, (III ) cos2x + cos22x = 2 
Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm?
	A. Chỉ (III )	B. Chỉ (I )	C. (I ) và (III ) 	D. Chỉ (II )	
Câu 37. Nghiệm của pt sinx = – là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 38. Nghiêm của pt tg2x – 1 = 0 là:
	A. 	B. 	 C. 	D. 
Câu 39. Nghiêm của pt cos2x = 0 là:
	A. 	B. 	 
	C. 	D. 
Câu 40. Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) . Pt nào sau đây tương đương với pt (1)
	A. sin4x = 0	B. cos3x = 0	 C. cos4x = 0	D. sin5x = 0
Câu 41. Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 42. Nghiệm của pt 2cos2x + 2cosx – = 0
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 43. Nghiệm của pt sinx – cosx = 0 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 44. Nghiệm của pt sinx + cosx = 0 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 45. Điều kiện có nghiệm của pt A. sin5x + B. cos5x = c là:
	A. a2 + b2 c2	B. a2 + b2 c2	C. a2 + b2 > c2	D. a2 + b2 < c2
Câu 46. Nghiệm của pt tanx + cotx = –2 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 47. Nghiệm của pt tanx + cotx = 2 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 48. Nghiệm của pt cos2x + sinx + 1 = 0 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 49. Tìm m để pt sin2x + cos2x = có nghiệm là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 50. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 51. Nghiệm của pt cos2x – sinx cosx = 0 là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 52. Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm:
	A. 0 < m < 	B. 	C. 	D. m < 0 ; 
Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sinx + sin2x = 0 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 54. Nghiệm âm nhỏ nhất của pt tan5x.tanx = 1 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 55. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 56. Nghiệm của pt 2.cos2x – 3.cosx + 1 = 0
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 57. Nghiệm của pt cos2x + sinx + 1 = 0 là:
	 A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 58. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4.sin2x + sin2x – 2.cos2x = 4 là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 59. Nghiệm của pt cos4x – sin4x = 0 là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 60. Nghiệm của pt sinx + cosx = là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 61. Nghiệm của pt sin2x + sinx.cosx = 1 là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 62. Nghiệm của pt sinx – cosx = 1 là
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 63. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
	(I) cosx = 	(II) sinx = 1–	(III) sinx + cosx = 2
	A. (I)	B. (II)	
	C. (III)	D. (I) và (II)
Một số vấn đề nâng cao.
Vấn đề 2. Tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tổng các nghiệm trong khoảng của phương trình:
1. 	2. 
Lời giải.
1. Phương trình 
Do nên ta có: 
Vậy tổng các nghiệm trong bằng.
2. Phương trình 
Các nghiệm nằm trong của phương trình là:
Vậy tổng các nghiệm thuộc là: .
Ví dụ 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các phương trình sau:
1. 	2. 
Lời giải:
1. Phương trình 
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: .
2. Phương trình 
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là: .
Ví dụ 3 Tìm số dương nhỏ nhất của phương trình :
1. 	2. 
Lời giải:
1. Phương trình 
Từ đó ta tìm được .
2. Phương trình 
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là 
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: 
Vậy là nghiệm cần tìm.
Ví dụ 4 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
Lời giải:
Phương trình 
Theo bài toán suy ra: 
Thử lại ta có các nghiệm nguyên của phương trình :
.
Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng của phương trình sau: 
Lời giải:
Ta có 
Nên phương trình đã cho tương đương với: 
.
Do nên phương trình có các nghiệm là:
.
Vậy tổng các nghiệm cần tính là: .
Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau
Phương trình 
Tiếp tục giải ta được kết quả như trên.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm tổng các nghiệm của phương trình: trên 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
Vì nên: 
* Với ta chỉ chọn được .
* Với ta chỉ chọn được .
Vậy tổng các nghiệm bằng .
Bài 2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Phương trình 
.
 Với 
. Do 
Suy ra các nghiệm: 
 Với 
. Do 
Suy ra các nghiêm: .
Vậy tổng các nghiệm là: .
Bài 3.Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau .
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Lời giải:
Điều kiện: .
Phương trình 
.
Yêu cầu bài toán .
Ta có: 
Vì .
* 
* 
* 
Kết hợp điều kiện, ta có là những giá trị cần tìm.
 Bài 4. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: .
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Lời giải:
Phương trình 
Ta có: và là số chẵn nên ta có các nghiệm là: .
Bài 5. Tìm số nghiệm nghiệm đúng phương trình : 
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Lời giải:
Phương trình 
Vì .
Bài 6. Tìm số nghiệm trên khoảng của phương trình : 
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Lời giải:
Ta có phương trình đã cho tương đương với
. 
Vì nên suy ra .
Bài 7 Tìm số nghiệm của phương trình : 
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Lời giải:
Điều kiện: 
Phương trình 
Ta thấy không là nghiệm của phương trình .
 Nếu thì phương trình 
Do 
.
 Nếu thì phương trình 
Do 
.
Nghiệm phương trình thỏa mãn bài toán là : 
.
Vấn đề 3 . Phương pháp loại nghiệm khi giải phương trình lượng giác có điều kiện
Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giáC. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện.
 Với cách này chúng ta cần ghi nhớ
 Điểm biểu diễn cung và , trùng nhau
 Để biểu diễn cung lên đường tròn lượng giác ta cho nhận giá trị (thường chọn ) nên ta có được điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều cạnh nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên
Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm và , trong đó đã biết, còn là các chỉ số chạy.
Ta xét phương trình : (*)
Với là các số nguyên.
Trong trường hợp này ta quy về giải phương trì